Função simples

Em matemática, sobretudo na teoria da medida, uma função simples é uma função mensurável que assume um conjunto finito de valores.

As funções simples são usadas como funções auxiliares na construção da integral de Lebesgue e na teoria de integração mais geral.

Definição

Seja $\left(X,\mathfrak{M},\mu\right)\,$ um espaço de medida, uma função $f:X\to\mathbb{R}\,$ é dita simples se puder ser escrita na forma:

$f(x)=\sum_{k=1}^n\alpha_k\Chi_{E_k}(x)\,$

onde $E_k\,$ são conjuntos mensuráveis e $\Chi_{E_k}(x)\,$ é a função indicadora de $E_k\,$ em X.

Propriedades

• A soma, multiplicação por uma constante, bem como o produto de funções simples é novamente uma função simples.
• Se $f(x)\geq 0\,$ é uma função mensurável, então existe uma seqüência não-decrescente de funções simples $f_n(x)\,$ convergindo quase-sempre para $f(x)\,$