Integral de Lebesgue

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A integral de uma função positiva pode ser interpretada como a área sob a curva do gráfico.

Em matemática a integral de Lebesgue é uma generalização da integral de Riemann. Originalmente definida para funções f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}, a integral de Lebesgue apresenta diversas vantagens em relação à integral de Riemann sobretudo em relação a processos de limite. De fato, não existem versões dos teorema da convergência monótona, teorema da convergência dominada e do lema de Fatou usando a integral de Riemann. Além disso, a integral de Lebesgue é uma construção matemática generalizável para funções definidas num espaço de medida assumindo valores reais ou complexos, ou mesmo, em um espaço de Banach geral.

Construção[editar | editar código-fonte]

Existem diversas possíveis construções para integral de Lebesgue, seguiremos aqui um método baseado na exaustão por funções simples.

Considere, então, \left(X,\mathfrak{M},\mu\right)\, um espaço de medida.

Funções simples[editar | editar código-fonte]

Seja \phi:E\to[-\infty,+\infty]\, uma função simples:

\phi(x)=\sum_{k=1}^n\alpha_k \Chi_{E_k}(x)\,

Diz-se que \phi(x)\, é Lebesgue integrável em E\, se:

\sum_{k=1}^n|\alpha_k| \mu(E_k) <\infty\, ficando bem convencionado que +\infty\cdot 0=-\infty\cdot 0= 0\cdot+\infty=0\cdot-\infty=0\,

neste caso, definimos a integral de Lesbesgue de \phi(x)\, como:

\int_E\phi(x)d\mu=\sum_{k=1}^n\alpha_k \mu(E_k)\,

Funções positivas[editar | editar código-fonte]

Seja f:E\to[0,+\infty]\, uma função mensurável, define-se a integral de Lebesgue de f(x)\, em E\, como:

\int_Ef(x)d\mu = \sup_{\phi(x)\leq f(x)}\int_E \phi(x)d\mu\,, onde \phi(x)\, é uma função simples.

A função f(x)\, é dita, então, Lebesgue integrável se sua integral é finita. Observações:

  • Quando f(x)\, é uma função simples, esta definição é consistente com a definição anterior.
  • A integral de Lebesgue está definida para toda função mensurável não negativa. A integral sendo finita se e somente se a função é Lebesgue integrável.

Funções reais[editar | editar código-fonte]

Seja f:E\to[-\infty,+\infty]\, uma função mensurável, definem-se as partes positivas e negativas, respectivamente como:

f^+(x)=\left\{\begin{array}{ll}
f(x), &f(x)\geq 0\\
0,    &f(x)\leq 0
\end{array}
\right.\,
f^-(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0, &f(x)\geq 0\\
-f(x),    &f(x)\leq 0
\end{array}
\right.\,

É fácil ver que se f(x)\, é mensurável, então ambas f^+\, e f^-\, são mensuráveis não negativas e que f(x)=f^+(x) - f^-(x)\,.

A função f(x)\, é dita Lebesgue integrável em E\, se ambas as integrais \int_Ef^+(x)dx\, e \int_Ef^-(x)dx\, forem finitas e sua integral é definida como:

\int_Ef(x)dx=\int_Ef^+(x)dx - \int_E f^-(x)dx\,
  • Observe que f(x)\, é integrável se e somente se |f(x)|\, é integrável.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Se f(x)\, e g(x)\, são funções integráveis em um conjunto mensurável E\,, então:

  • \int_E\left[\alpha f(x) + \beta g(x)\right]d\mu= \alpha\int_E f(x)d\mu + \beta\int_E g(x)d\mu\,
  • f(x) \leq g(x)\, quase sempre, então \int_E f(x)d\mu \leq \int_E g(x)d\mu\,
  • \left|\int_E f(x)d\mu\right|\leq \int_E|f(x)|d\mu\,
  • F\subseteq E\, mensurável, f(x)\, é integrável em F\, e, ainda:
\int_Ef(x)d\mu=\int_Ff(x)d\mu+\int_{E\backslash F}f(x)d\mu\,
  • Se \{E_n\}_{n=1}^{\infty}\, são subconjuntos mensuráveis e disjuntos dois a dois e \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n=E\, então:
\int_Ef(x)d\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{E_n}f(x)d\mu\,
  • \nu(F):=\int_Ff(x)d\mu\, define uma medida nos subconjuntos mensuráveis de E\,.

Comparação com a integral de Riemann[editar | editar código-fonte]

  • Enquanto toda função integrável a Riemann é limitada, existem funções integráveis a Lebesgue que não são limitadas nem mesmo essencialmente limitadas em nenhum aberto do domínio.
  • O domínio de integração da integral de Lebesgue pode ser qualquer conjunto mensurável, inclusive não limitado.

Ver também[editar | editar código-fonte]


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