Integração numérica

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Este artigo trata de métodos de integração numérica no sentido de resolver integrais, para métodos para resolver equações diferenciais, ver (Equações diferenciais ordinárias,Método de Euler,Método de Runge-Kutta).

Integração por retângulos.
Integração pelo método de Simpson.
Integração trapezoidal.

Na análise numérica,em matemática, existe uma grande família de algoritmos, cujo principal objetivo é a de estimar o valor numérico de uma integral definida em uma área específica dada de uma função (por exemplo, \int_a^b f(x)dx)[1]

Procedendo em três fases:

  1. Decomposição do domínio em pedaços ( um intervalo contido de sub-intervalos);
  2. Integração aproximada da função de cada pedaço;
  3. Soma dos resultados numéricos obtidos.[2]

A necessidade de se usar a integração numérica, deriva de algumas razões:

  • nem todas as funções admitem uma primitiva de forma explícita (por exemplo, a curva de Gauss);
  • a primitiva da função é muito complicado para ser avaliado;[2]


Ou seja, os métodos de integração numérica permitem calcular o valor aproximado de uma integral definida sem conhecer uma expressão analítica para a sua primitiva. O método básico envolvido nesta aproximação é chamado de quadratura numérica e consiste em:

\int_a^b f(x)dx \simeq \sum_{i=0}^{n}\alpha_i f(x_i)\,

onde \{\alpha_i\}\, são coeficientes reais(peso da função) e \{x_i\}\, são pontos de [a,b]\,.

Geralmente utilizamos a integral numérica em problemas envolvendo o cálculo de integrais não se conhece a expressão analítica da função integrando, somente os valores dessa função, o que inviabiliza o uso de técnicas dadas no cálculo diferencial e integral, mas que são os dados necessários para a integração numérica, e mesmo quando se conhece a forma analítica da função integrando, o cálculo da função primitiva pode ser trabalhoso e nem sempre simples. Por exemplo, a integral \int e^{-x^{2}}dx resulta em uma função que não pode ser expressa em termos de combinações finitas ou de outras funções algébricas, logarítmicas ou exponenciais .[3]

Ordem de aproximação[editar | editar código-fonte]

Um esquema de integração numérica é dito ter ordem de aproximação N se for exato para cada polinômio de grau menor ou igual a N.[3]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método do ponto médio ou dos retângulos
Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método dos trapézios
Superfície em vermelho representa o valor estimado da integral pelo método Simpson
As regras abaixo são conhecidas como Fórmulas de Newton-Cotes,

há dois tipos delas as abertas e as fechadas.A regra do ponto médio é uma fórmula de Newton-Cotes aberta. A regra trapezoidal e de Simpson são exemplos de uma categoria de métodos conhecida como fórmulas de Newton-Cotes fechada. A fórmula de Newton-Cotes é chamada fechada porque seus pontos externos do intervalo fechado [a,b] estão inclusos.


  • Regra do Ponto Médio ou dos retângulos:
\int_a^b f(x)dx \simeq (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)


\int_a^b f(x)dx \simeq (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}


\int_a^b f(x)dx \simeq (b-a)\frac{f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)}{6}


Integral Valor exato Regra dos retângulos Regra trapezoidal Regra de Simpson
\int_0^1 e^xdx e-1\simeq 1,7183 e^{(\frac{1+0}{2})}\simeq 1,6487 \frac{1+e}{2}\simeq 1,8591 \frac{1+4e^{1/2}+e}{6}\simeq 1,7189
\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx \frac{\pi}{4}\simeq 0,7854 \sqrt{1-0.5^2}\simeq 0,8660 \frac{1}{2}= 0,5 \frac{1+4\frac{\sqrt{3}}{2}+0}{6}\simeq 0,7440

[1] [2]

Erro de aproximação[editar | editar código-fonte]

Pode-se mostrar que o erro assumido ao integrar uma função diferenciável pelo método do ponto médio o erro é de +\frac{h^3}{24}f''(x_0)\,; método trapezoidal é igual a -\frac{h^3}{12}f''(x_0)\, onde X_0\, é um ponto do intervalo de integração e h é o comprimento deste intervalo. Um resultado análogo indica que o erro do método de Simpson é -\frac{h^5}{90}f^{(4)}(x_0)\,.

Observação:Na medida em que o termo do erro para a regra do trapezoidal envolve f'', a regra dá o resultado exato quando aplicada a qualquer função cuja a derivada de 2ªordem é,seja igual a zero,qualquer polinômio de primeiro grau ou menor. Já o erro do método de Simpson envolve a derivada 4º grau, a regra de Simpson dá resultados exatos quando aplicada a qualquer polinômio de 3º grau ou menor.

Métodos compostos[editar | editar código-fonte]

Os chamados métodos compostos consistem em dividir o intervalo de integração em diversos subintervalos e aplicar um método de quadratura em cada um dos intervalos:

\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{N}\int_{a_i}^{b_i}f(x)dx

onde a_1=a\,, b_{i}=a_{i+1}\, e b_n=b\,. O princípio básico destes métodos é o fato de o erro decrescer rapidamente com o comprimento do intervalo.[1]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Os seguintes exemplos foram construídos subdividindo o intervalo de integração em subintervalos de comprimento constante e sob a notação x_1=a\,, x_n=b\, e x_{n+1}=x_n+h\,.

  • Regra trapezoidal composta:
\int_a^b f(x)dx \simeq \frac{h}{2}\left[f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+\ldots+f(x_n)\right]
  • Regra de Simpson composta:
\int_a^b f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_1)+4f(x_2)+2f(x_3)+4f(x_4)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]

aqui n deve ser um número ímpar.[1]

Outros métodos de quadratura numérica[editar | editar código-fonte]

Método do Cálculo multi-dimensional integrante[editar | editar código-fonte]

Método de Cálculo determinante forma integral[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b c d Sperandio, Mendes e Monken. Calculo Numérico: características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos (em ). [S.l.]: Pearson, 2003.
  2. a b c Burden e Richard L.. Análise Numérica (em ). [S.l.]: Thomson, 2003.
  3. a b Ruggiero, Lopes. Calculo Numérico: Aspectos teóricos e computação (em ). 2. ed. [S.l.]: Pearson. único vols.

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