Integração numérica

Integração por retângulos.

Integração pelo método de Simpson.

Integração trapezoidal.

Em matemática, os métodos de integração numérica permitem calcular o valor aproximado de uma integral definida sem conhecer uma expressão analítica para a sua primitiva. O método básico envolvido nesta aproximação é chamado de quadratura numérica e consiste em:

$\int_a^b f(x)dx \simeq \sum_{i=0}^{n}\alpha_i f(x_i)\,$

onde $\{\alpha_i\}\,$ são coeficientes reais e $\{x_i\}\,$ são pontos de $[a,b]\,$.

Ordem de aproximação

Um esquema de integração numérica é dito ter ordem de aproximação N se for exato para cada polinômio de grau menor ou igual a N.

Exemplos

• Regra trapezoidal

$\int_a^b f(x)dx \simeq (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}$

• Regra de Simpson:

$\int_a^b f(x)dx \simeq (b-a)\frac{f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)}{6}$

Integral	Valor exato	Regra trapezoidal	Regra de Simpson
$\int_0^1 e^xdx$	$e-1\simeq 1,7183$	$\frac{1+e}{2}\simeq 1,8591$	$\frac{1+4e^{1/2}+e}{6}\simeq 1,7189$
$\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx$	$\frac{\pi}{4}\simeq 0,7854$	$\frac{1}{2}= 0,5$	$\frac{1+4\frac{\sqrt{3}}{2}+0}{6}\simeq 0,7440$

Erro de aproximação

Pode-se mostrar que o erro assumido ao integrar uma função diferenciável pelo método trapezoidal é igual a $-\frac{h^3}{12}f''(x_0)\,$ onde $X_0\,$ é um ponto do intervalo de integração e h é o comprimento deste intervalo. Um resultado análogo indica que o erro do método de Simpson é $-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(x_0)\,$.

Métodos compostos

Os chamados métodos compostos consistem em dividir o intervalo de integração em diversos subintervalos e aplicar um método de quadratura em cada um dos intervalos:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{N}\int_{a_i}^{b_i}f(x)dx$

onde $a_1=a\,$, $b_{i}=a_{i+1}\,$ e $b_n=b\,$. O princípio básico destes métodos é o fato de o erro decrescer rapidamente com o comprimento do intervalo.

Exemplos

Os seguintes exemplos foram construídos subdividindo o intervalo de integração em subintervalos de comprimento constante e sob a notação $x_1=a\,$, $x_n=b\,$ e $x_{n+1}=x_n+h\,$.

• Regra trapezoidal composta:

$\int_a^b f(x)dx \simeq \frac{h}{2}\left[f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+\ldots+f(x_n)\right]$

• Regra de Simpson composta:

$\int_a^b f(x)dx \simeq \frac{h}{3}\left[f(x_1)+4f(x_2)+2f(x_3)+4f(x_4)+\ldots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]$

aqui n deve ser um número ímpar.

Ver também

• Diferenciação numérica