Método de Laplace

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Em matemática, o método de Laplace é uma técnica originalmente desenvolvida por Pierre-Simon Laplace (1774, p. 366-367) para aproximar integrais da forma

\int_a^b\! e^{M f(x)}\, dx

onde f(x) é uma função duplamente diferenciável, M é um grande número, e os pontos finais da integral a e b podem estar no infinito.

A ideia do método de Laplace[editar | editar código-fonte]

A função  e^{M f(x)}, em azul blue, é mostrado no topo para M=0.5, e em baixo para M=3. Aqui, f(x)=\sin x/x, com um máximo global em x_0=0. Isto é visto que como M cresce de maneira mais acentuada, a aproximação desta função por uma função Gaussiana (mostrada em vermelho) é melhor obtida. Esta observação é subjacente ao método de Laplace.

Assumindo que a função f(x) tem um único máximo global em x0. Então, o valor f(x0) irá ser maior que outros valores f(x). Se nós multiplicarmos esta função por um grande número M, o lapso entre Mf(x0) e Mf(x) só irá aumentar, e então ele irá crescer exponencialmente para a função

 e^{M f(x)}.

Como tal, contribuições significativas para a integral dessa função só virá a partir de pontos x em um vizinhança de x0, a qual pode então ser estimada.

Teoria geral do método de Laplace[editar | editar código-fonte]

Para estabelecer e provar o método, são necessários alguns pressupostos. Assume-se que x0 não é um ponto final do intervalo de integração, que o valor f(x) pode não ser muito próximo a f(x0) exceto se x é próximo a x0, e que f'''(x_0)<0.

Pode-se expandir f(x) em torno de x0 pelo teorema de Taylor,

f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0)(x-x_0)^2 + R.
onde R=O\left((x-x_0)^3\right).

Desde que f tem um máximo global em x0, e já que x0 não é um ponto final, ele é um ponto estacionário, então f'(x0)=0 nesse ponto. Com essa simplificação, a função f(x) pode ser aproximada a ordem quadrática por

 f(x) \approx f(x_0) - \frac{1}{2} |f''(x_0)| (x-x_0)^2

para x próximo a x0 (lembrando que a segunda derivada é negativa no máximo global f(x0)). As suposições feitas garantem a precisão da aproximação

\int_a^b\! e^{M f(x)}\, dx\approx e^{M f(x_0)}\int_a^b e^{-M|f''(x_0)| (x-x_0)^2/2}dx

(ver a imagem à direita). Esta última integral é uma integral de Gauss se os limites de integração vão de −∞ a +∞ (os quais podem ser assumidos então porque a exponencial decai muito rápido longe de x0), e então ela pode ser calculada. Encontra-se

\int_a^b\! e^{M f(x)}\, dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{M|f''(x_0)|}}e^{M f(x_0)}  \mbox { quando } M\to\infty.

Uma generalização deste método e sua extensão a precisão arbitrária é apresentado por Fog (2008).

Extensão do Método de Laplace: Descida mais íngreme[editar | editar código-fonte]

Em extensões do método de Laplace, análise complexa, e em particular a fórmula integral de Cauchy, é usada para encontrar um contorno de descida mais íngreme para uma integral equivalente (assintoticamente com M grande), expressa como uma integral de linha. Em particular, se nenhum ponto x0 onde a derivada de f desaparece existe sobre a linha real, isto pode ser necessário para deformar o contorno de integração para um ótimo, onde a análise acima será possível. Mais uma vez a idéia principal é reduzir, pelo menos assintoticamente, o cálculo da integral dada aquele de uma integral mais simples que possa ser explicitamente avaliada. Ver o livro de Erdelyi (1956) para uma discussão simples (onde o método é denominado descidas mais íngremes).

Generalizações posteriores[editar | editar código-fonte]

Uma extensão do método da descida mais íngreme é a assim chamada método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear. Aqui, ao invés de integrais, é necessário avaliar as soluções assintótcas dos problemas da fatoração de Riemann-Hilbert.

Dado um contorno C na esfera complexa, uma função f definida sobre este contorno e o especial, dito infinito, busca-se uma função M holomórfica distante do contorno C, com lapso previsto em C, e com uma dada normalização no infinito. Se f e portanto M são matrizes ao invés de escalares este é um problema que em geral não admite uma solução explícita.

Uma avaliação assintótica é então possível ao longo das linhas do método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear. A ideia é reduzir assintoticamente a solução do problema de Riemann-Hilbert dado aquele de um problema de Riemann-Hilbert mais simples, explicitamente resolvível. O teorema de Cauchy é usado para ajustar deformações do contorno de lapso.

A fase estacionária não linear foi introduzida por Deift e Zhou em 1993, com base em trabalhos anteriores seus. O método da descida mais íngreme não linear (propriamente falando) foi introduzido por Kamvissis, K. McLaughlin e P. Miller em 2003, baseado em trabalhos prévios de Lax, Levermore, Deift, Venakides e Zhou.

O método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear tem aplicações para a teoria de equações sóliton e modelos integráveis, matrizes aleatórias e combinatória.

Integrais complexas[editar | editar código-fonte]

Para integrais complexas na forma:

  \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} g(s)e^{st} \,ds

com t >> 1, nós fazemos a substituição t = iu e a mudança de variável s = c + ix para obter a transformação bilateral de Laplace:

 \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} g(c+ix)e^{-ux}e^{icu} \, dx.

Então dividimos g(c+ix) em sua partes reais e complexas, após o que recuperamos u = t / i. Isto é útil para tranformadas inversas de Laplace, a fórmula de Perron e integração complexa.

Exemplo 1: aproximação de Stirling[editar | editar código-fonte]

O método de Laplace pode ser usado para derivar a aproximação de Stirling

N!\approx \sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}

para um N inteiro grande.

Da definição da função gama, nós temos

N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx.

Agora, mudamos variáveis, obtendo

x = N z

tal que

dx = N dz.

Coloca-se estes valores novamente para obter

N! = \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz
= N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N z} z^N dz
= N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N z} e^{N\ln z} dz
= N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz.


Esta integral tem a forma necessária para o método de Laplace com


f \left( z \right) = \ln{z}-z

a qual é duplamente diferenciável:

f'(z) = \frac{1}{z}-1\,,


f''(z) = -\frac{1}{z^2}.

O máximo de f(z) situa-se em z0=1, e a segunda derivada de f(z) tem neste ponto o valor -1. Então, obtemos

N! \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}.

Exemplo 2: estimativa de parâmetros e inferência probabilística[editar | editar código-fonte]

Azevedo-Filho and Shachter (1994) sumarizam resultados (univariados e multivariados) relacionados ao método de Laplace e apresentam um exemplo detalhado de sua aplicação a um problema envolvendo estimativa de parâmetros e inferência probabilística, sob uma ótica bayesiana. O método de Laplace é utilizado em um problema de meta-análise do domínio da medicina, envolvendo dados de experimentos, e comparado com outras técnicas. (artigo)

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]