Teorema de Taylor

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Em cálculo, o Teorema de Taylor, recebe seu nome do matemático britânico Brook Taylor, quem o enunciou em 1712. Este teorema permite aproximar uma função derivável na vizinhança reduzida em torno de um ponto a: E (a, d) mediante um polinômio cujos coeficientes dependem das derivadas da função nesse ponto. Em termos matemáticos: Se \ n ≥ 0 é um inteiro e \ f uma função que é derivável \ n vezes no intervalo fechado [\ a, \ x] e n+1 no intervalo aberto ] \ a, \ x[, então, deduz-se que:


  f(x) = f(a)
  + \frac{f'(a)}{1!}(x - a)
  + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2
  + \cdots
  + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
  + R


f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + R

Onde, \ n! denota o fatorial de \ n, e \ R é o resto, termo que depende de \ x e é pequeno se \ x está próximo ao ponto \ a. Existem duas expressões para \ R que referem-se à continuação:


  R = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}

onde \ a e \ x, pertencem aos números reais, \ n aos inteiros e \ \xi é um número real entre \ a e \ x.


  R = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt

Se \ R é expresso da primeira forma, é denominado Termo complementar de Lagrange, dado que o Teorema de Taylor enuncia-se como uma generalização do Teorema do valor médio ou Teorema de Lagrange, enquanto que a segunda expressão de R mostra ao teorema como uma generalização do Teorema fundamental do cálculo integral.

Para algumas funções \ f(x), pode-se provar que o resto, \ R, aproxima-se de zero quando \ n aproxima-se do ∞; tais funções podem ser expressas como séries de Taylor em uma vizinhança reduzida ao redor de um ponto \ a e são denominadas funções analíticas.

O teorema de Taylor com \ R expresso da segunda forma é também válido se a função \ f tem números complexos ou valores vetoriais. Além disso, existe uma variação do teorema de Taylor para funções com múltiplas variáveis.

Teorema de Taylor para várias variáveis[editar | editar código-fonte]

O Teorema de Taylor pode ser generalizado para o caso de várias variáveis da seguinte forma: seja B uma bola em RN de centro a, e f uma função de valores reais definida no fecho \bar{B}, possuindo n+1 derivadas parciais contínuas em todos os pontos. O teorema de Taylor afirma que para qualquer x\in B, temos

f(x)=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\partial x^\alpha}(x-a)^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(x)(x-a)^\alpha

onde o somatório é feito sobre os multi-índices α (onde se utiliza a notação multi-índice nessa fórmula).

O termo restante satisfaz a desigualdade

|R_{\alpha}(x)|\le\sup_{y\in\bar{B} }\left|\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(y)}{\partial x^\alpha}\right|

para todo α onde |α| = n + 1. Tal qual no caso de uma variável, os termos de resto podem ser expressos explicitamente.

Ver também[editar | editar código-fonte]