Teorema de Taylor

Topicos em Cálculo

Teorema fundamental Limite de uma função Continuidade Teorema do valor médio Cálculo  Derivada Mudança de variáveis Funções implícitas e explícitas Teorema de Taylor Taxas relacionadas Regras e identidades: Regra do produto, Regra do quociente, Regra da cadeia Integral  Integral Tábua de integrais Integrais impróprias Integração por: partes, substituição trigonométrica, frações parciais, Ordem de integração Cálculo vetorial  Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Cálculo multivariável  Cálculo matricial Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana

Em cálculo, o Teorema de Taylor, recebe seu nome do matemático britânico Brook Taylor, quem o enunciou em 1712. Este teorema permite aproximar uma função derivável na vizinhança reduzida em torno de um ponto a: E (a, d) mediante um polinômio cujos coeficientes dependem das derivadas da função nesse ponto. Em termos matemáticos: Se $\ n$ ≥ 0 é um inteiro e $\ f$ uma função que é derivável $\ n$ vezes no intervalo fechado [$\ a$, $\ x$] e n+1 no intervalo aberto ] $\ a$, $\ x$[, então, deduz-se que:

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R$

$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + R$

Onde, $\ n!$ denota o fatorial de $\ n$, e $\ R$ é o resto, termo que depende de $\ x$ e é pequeno se $\ x$ está próximo ao ponto $\ a$. Existem duas expressões para $\ R$ que referem-se à continuação:

$R = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}$

onde $\ a$ e $\ x$, pertencem aos números reais, $\ n$ aos inteiros e $\ \xi$ é um número real entre $\ a$ e $\ x$.

$R = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt$

Se $\ R$ é expresso da primeira forma, é denominado Termo complementar de Lagrange, dado que o Teorema de Taylor enuncia-se como uma generalização do Teorema do valor médio ou Teorema de Lagrange, enquanto que a segunda expressão de R mostra ao teorema como uma generalização do Teorema fundamental do cálculo integral.

Para algumas funções $\ f(x)$, pode-se provar que o resto, $\ R$, aproxima-se de zero quando $\ n$ aproxima-se do ∞; tais funções podem ser expressas como séries de Taylor em uma vizinhança reduzida ao redor de um ponto $\ a$ e são denominadas funções analíticas.

O teorema de Taylor com $\ R$ expresso da segunda forma é também válido se a função $\ f$ tem números complexos ou valores vetoriais. Além disso, existe uma variação do teorema de Taylor para funções com múltiplas variáveis.

Teorema de Taylor para várias variáveis

O Teorema de Taylor pode ser generalizado para o caso de várias variáveis da seguinte forma: seja B uma bola em R^N de centro a, e f uma função de valores reais definida no fecho $\bar{B}$, possuindo n+1 derivadas parciais contínuas em todos os pontos. O teorema de Taylor afirma que para qualquer $x\in B$, temos

$f(x)=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\partial x^\alpha}(x-a)^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(x)(x-a)^\alpha$

onde o somatório é feito sobre os multi-índices α (onde se utiliza a notação multi-índice nessa fórmula).

O termo restante satisfaz a desigualdade

$|R_{\alpha}(x)|\le\sup_{y\in\bar{B} }\left|\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(y)}{\partial x^\alpha}\right|$

para todo α onde |α| = n + 1. Tal qual no caso de uma variável, os termos de resto podem ser expressos explicitamente.

Ver também

• Série de Taylor