Série de potências

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Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro x, da seguinte forma:


  S(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n

o número x_{0}, a sequência a_{n} e o parâmetro x podem ser em geral números complexos. [1]

A convergência da série de potências depende da distância entre x e x_{0} no plano complexo:


  |x - x_0|

Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).

História[editar | editar código-fonte]

O primeiro que usou séries e potências para resolver problemas foi Isaac Newton, em 1665.[2]

Newton provou o teorema binomial:

(1 + x)^r = 1 + r x + \frac{r (r-1)}{2} x^2 + \ldots\,

que era conhecido para valores naturais de r, e o generalizou para valores racionais, positivos ou negativos, de r.[3]

Em seguida, Newton desenvolveu as séries de potências para seno, cosseno, tangente, arco seno, arco cosseno, arco tangente e a função \ln(1 + x)\,.[3]

Série de taylor[editar | editar código-fonte]

Uma função analítica num ponto x_{0} é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem nesse ponto.[1] Nesse caso a função pode ser representada por uma série de potências convergente em x_{0}:


  f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1 (x - x_0)
  + a_2 (x -x_0)^2 + \cdots

as derivadas de f calculam-se derivando o termo dentro da série, por exemplo, as duas primeiras derivadas são:


\begin{align}
  &f'(x) = \sum_{n=0}^\infty n a_n (x - x_0)^{n-1} = a_1 + 2 a_2 (x - x_0)
  + 3 a_3 (x -x_0)^2 + \cdots\\
  &f''(x) = \sum_{n=0}^\infty n(n - 1) a_n (x - x_0)^{n-2} = 2 a_2
  + 6 a_3 (x - x_0) + 12 a_4 (x -x_0)^2 + \cdots
\end{align}

Se substituirmos x = x_{0} nas séries para f, f' e f'' vemos que:


  a_0 = f(x_0) \qquad  a_1 = f'(x_0) \qquad  2 a_2 = f''(x_0)

em geral,


  n! a_n = f^{(n)}(x_0)

e a série de Taylor de f escreve-se:


  f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n

No caso particular x_{0} = 0 obtém-se a chamada série de McClaurin. Onde o raio de convergência da série é igual à distância entre x_{0} e o ponto singular de f mais próximo.[1]

Algumas séries de McClaurin importantes[editar | editar código-fonte]

  • Série geométrica


    \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots

 para x, em valor absoluto, menor que 1.
  • Função exponencial


  e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

  • Funções trigonométricas


\begin{align}
  &\sin\ x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} x^{2n+1}\\
  &\cos\ x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}
\end{align}

Método das séries[editar | editar código-fonte]

Consideremos a equação diferencial linear, homogênea de segunda ordem


  P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0

em que P, Q e R são polinômios. Muitos problemas de engenharia conduzem a equações dessa forma.[1]

A partir do teorema de existência e unicidade para equações lineares, vemos que os pontos singulares são as raízes do polinômio P(x). Se o ponto x = 0 não for raiz de P(x), a solução da equação diferencial será uma função analítica em x = 0 e, portanto, existirá a série de McClaurin para a solução y(x):


  y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n

A obtenção da solução é equivalente à obtenção da sequência a_{n}. A equação de diferenças que define a sequência a_{n} é obtida por substituição da série de McClaurin (e das suas derivadas) na equação diferencial.[1]

Equação de Airy[editar | editar código-fonte]

Um exemplo de uma equação linear muito simples que não pode ser resolvida pelos métodos convencionais das equações diferenciais e que pode ser resolvida pelo método das séries, é a equação de Airy:


       y'' = xy

O polinômio P é neste caso igual a 1, de maneira que a solução será analítica em x = 0 e poderá ser escrita como uma série de McClaurin:


  y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n

A segunda derivada é:


  y''(x) = \sum_{n=0}^\infty n(n - 1) a_n x^{n-2}

e substituindo na equação diferencial


  \sum_{n=0}^\infty n(n - 1) a_n x^{n-2} - \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+1} = 0

para agrupar as duas séries numa única série de potências, escrevemos a primeira série numa forma equivalente: podemos incrementar em 3 unidades o índice n, dentro da série, se subtrairmos 3 aos limites do somatório; a série resultante será idêntica à série inicial


  \sum_{n=-3}^\infty (n + 3)(n + 2) a_{n+3} x^{n+1} - \sum_{n=0}^\infty
  a_n x^{n+1} = 0

Na primeira série os dois primeiros termos (n=-3 e n=-2) são nulos e o terceiro termo (n=-1) pode ser escrito explicitamente; a série resultante começa desde n = 0, podendo ser agrupada à segunda série:


  2 a_2 + \sum_{n=-3}^\infty [(n + 3)(n + 2) a_{n+3} - a_n] x^{n+1} = 0

no lado esquerdo da equação temos uma série de potências em que o coeficiente de ordem zero é 2 a_{2} e os coeficientes de ordem superior a zero são o termo dentro dos parêntesis quadrados, com n = 0,1,2,\dots Para que a série de potências seja nula em qualquer ponto x, é necessário que todos os coeficientes sejam nulos:


  2 a_2 = 0


  \color{Blue}{(n + 3)(n + 2) a_{n+3} - a_n = 0 \qquad (n = 0, 1, 2,\ldots)}

Temos transformado o problema num problema de equações de diferenças.

A equação de diferenças obtida é uma equação incompleta, de terceira ordem e a sua solução consiste em três sucessões independentes para os coeficientes de ordem múltiplo de 3, múltiplo de 3 mais 1, e múltiplo de 3 mais 2.

Como a_{2} = 0, os coeficientes de ordem múltiplo de 3 mais 2 são todos nulos. Para obter as outras duas sequências podemos usar o método estudado no capítulo anterior: para n = 3m, definindo u_m = a_{3m} obtemos:


  \color{Red}{9(m + 1)(m + 2/3) u_{m+1} - u_m = 0}

em termos de fatoriais e funções gama temos:


  (m + 1)(m + 2/3) =\frac{(m + 1)! \Gamma(m + 5/3)}{m! \Gamma(m + 2/3)}

Usando a substituição:


  x_m = m! \Gamma(m + 2/3) u_m

a Equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:


  9 x_{m+1} - x_m = 0

A solução pode agora ser obtida facilmente:


\begin{align}
  &x_m &=& \frac{x_0}{(-9)^m}\\
  &a_{3m} &=& u_m = \frac{(-1)^{m} \Gamma(2/3)}{m!\Gamma(m + 2/3) 9^m} a_0
\end{align}

Para calcular a sequência correspondente a n = 3m + 1, procedemos em forma semelhante. Em função de v_m = a_{3m + 1}, a fórmula de recorrência (Equação) é uma equação de primeira ordem:


  9(m + 1)(m + 4/3) v_{m+1} - v_m = 0

e com a substituição


  z_m = m! \Gamma(m + 4/3) v_m

a equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:


  9 z_{m+1} - z_m = 0

com solução:


\begin{align}
  & z_m &=& \frac{z_0}{(-9)^m} \\
  & a_{3m+1} &=& v_m = \frac{(-1)^m \Gamma(4/3) a_1}{m!\Gamma(m + 4/3) 9^m}
\end{align}

Finalmente, substituimos a_{n} na série de McClaurin para obter a solução da equação diferencial:


y(x) = a_0 \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m\Gamma(2/3)}{m!\Gamma(m + 2/3) 9^m} x^{3m}
 + a_1 x \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m\Gamma(4/3)}{m!\Gamma(m + 4/3) 9^m} x^{3m}

onde a_{0} e a_{1} são duas constantes arbitrárias (condições iniciais para y e y' em x = 0). Em alguns casos as séries obtidas podem ser identificadas como a série de McClaurin de alguma função conhecida.

Neste exemplo as séries não correspondem a nenhuma função conhecida, e constituem duas funções especiais designadas funções de Airy.

Raio de convergência[editar | editar código-fonte]

Se a distância for suficientemente aproximada a zero, a série converge (a_{0} é o valor da série quando x = x_{0}); quanto maior for a distância mais lenta será a convergência, até que a partir de uma certa distância a série diverge. O valor máximo da distância para o qual a série converge, é o chamado raio de convergência (R) e calcula-se a partir de:


  \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1} R^{n+1}}{a_n R^n} = 1
  \quad\Rightarrow\quad R = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}

Referências

  1. a b c d e [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.
  2. Buzzle.com, Accomplishments of Isaac Newton [em linha]
  3. a b Lecture 20 Newton's Invention of calculus [em linha]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]