Série de potências

Em matemática, uma série de potências (de uma variável) é uma série infinita da forma

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots$

onde a_n representa o coeficiente do n-ésimo termo, c é uma constante, e x varia em torno de c (por esta razão, algumas vezes a série é dita centrada em c). Esta série geralmente surge como uma série de Taylor de uma função.

Em muitas situações, c é igual a zero, que em uma série de Taylor é um caso particular denominado série de Maclaurin. Nesses casos, a série de potências toma a seguinte forma simplificada

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.$

Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).

História

O primeiro que usou séries e potências para resolver problemas foi Isaac Newton, em 1665.

Newton provou o teorema binomial:

$(1 + x)^r = 1 + r x + \frac{r (r-1)}{2} x^2 + \ldots\,$

que era conhecido para valores naturais de r, e o generalizou para valores racionais, positivos ou negativos, de r.

Em seguida, Newton desenvolveu as séries de potências para seno, cosseno, tangente, arco seno, arco cosseno, arco tangente e a função $\ln(1 + x)\,$.

Exemplos

Qualquer polinômio pode ser facilmente expresso como uma série de potência em torno de um centro c, embora um ou mais coeficientes sejam iguais a zero. Por exemplo, o polinômio $f(x) = x^2 + 2x + 3$ pode ser escrito como a série de potência em torno de $c=0$ como

$f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,$

ou em torno do centro $c=1$ como

$f(x) = 3 + 2 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,$

ou mesmo em torno de qualquer outro centro c.

Uma série geométrica

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,$

que é válida para $|x|<1$, é um dos exemplos mais importantes de séries de potência, assim como a fórmula da função exponencial

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,$

e a fórmula do seno

$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,$

válida para todo real x.

Essas séries de potências são também exemplos de séries de Taylor. Entretanto, existem séries de potências que não são séries de Taylor de uma função qualquer, tal como

$\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots.$

Potências negativas não são permitidas em uma série de potências, por exemplo $1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots$ não é considerada uma série de potência (embora seja uma série de Laurent). Similarmente, potências fracionais, tais como $x^{1/2}$, não são consideradas séries de potências (veja série de Puiseux).

Raio de convergência

Uma série de potência irá convergir para alguns valores conforme os valores tomados da variável x, e pode divergir para outros. Sempre há um número r com 0 ≤ r ≤ ∞ tal que a série converge quando |x − c| <r e diverge para |x − c| > r. O número r é chamado de raio de convergência da série de potências; em geral ele é dada como

$r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}$

ou, equivalentemente,

$r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}$

Um método mais rápido de calcular o raio de convergência é

$r^{-1}=\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|$

se o limite existe.

A série converge absolutamente para |x - c| < r e converge uniformemente em todo subconjunto compacto de {x : |x − c| < r}.

Para |x - c| = r, não se pode fazer nenhuma afirmativa geral sobre a convergência da série.

Ligações externas

• Complex Power Series Module by John H. Mathews