Transformada Z

A Transformada Z, de grande importância na análise de sinais digitais, se aplica para sinais discretos tais como aqueles advindos da conversão analógico-digital. A Transformada Z é utilizada no projeto de filtros e sistemas de controle digitais.

O cálculo da transformada

A Transformada Z é calculada pela expressão:

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n z^{-n}$.

Onde $z^{-n}$ é uma função complexa definida na forma polar por $z = re^{jw}$. Para r = 1 temos que a transformada Z fica idêntica a transformada de Fourier.

Região de Convergência

Para calcular a transformada Z além de usarmos a expressão acima para acharmos o valor da transformada, temos que definir sua RDC (Região de convergência), que são valores em que a transformada é válida, ou seja, a variável complexa Z tem convergência. Uma soma só é convergente se ao final dela aparecer um valor diferente de infinito, e para isso acontecer na transformada z, o |Expressão em Z| < 1.

Exemplo

Seja a sequência : $x[n] = a{^n}u[n]$ com a real, calcular a transformada Z. Aplicando a definição: $X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{n}u[n] z^{-n}$ = $\sum_{n=0}^{\infty} a^{n}z^{-n}$$= \sum_{n=0}^{\infty} (az^{-1})^{n}$

Pela definição de Série geométrica, $S_\infty=\sum_{n=0}^{\infty}1 q^{n-1}=\frac{1}{1-q}$ e, assim, $X(z) = \frac{1}{1-a.z^{-1}}$

e $~~|az^{-1}| < 1 =$ $~~|\frac{a}{z}| < 1$$= ~~|z| > |a|$, ou seja os valores nos quais a transformada converge são os valores de z maior do que a.

Agora, vamos calcular a transformada Z da sequência $x[n] = -a{^n}u[-n-1]$. Segue da definição que $X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} -a^{n}u[-n-1].z^{-n}$ $= \sum_{n=-\infty}^{-1} -a^{n}.z^{-n}$ $= \sum_{n=-\infty}^{-1} -(a/z)^{n}$ $= \sum_{m=1}^{\infty} -(z/a)^{m}$, onde fizemos $m = -n$. Portanto, utilizando a equação da soma da PG, segue que $X(z) = -\frac{1}{1 - z/a} = -\frac{a}{a-z} = \frac{z}{z-a} = \frac{1}{1-a.z^{-1}}$, porém a RDC é $= |z| < |a|$.