Delta de Dirac

A distribuição delta de Dirac.

O Delta de Dirac ou, como costuma ser impropriamente chamada, a função Delta de Dirac, introduzida por Paul Dirac, é algo semelhante a uma função que teria as seguintes propriedades:

• $\delta(x) = 0 \mbox{ se } x \ne 0$
• $\delta(0) = \infty$
• $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1$

Mas, como essas condições não são consistentes com a definição de função, diz-se que a Delta de Dirac é uma distribuição.

A Delta de Dirac é normalmente representada por δ(x) e seu análogo no domínio discreto é o Delta de Kronecker.

A Delta de Dirac possui a seguinte propriedade:

$\int\delta(x-x^\prime)f(x)dx = f(x^\prime)$

Definição

Define-se a distribuição Delta de Dirac como a seguir:

$\int_{a}^{b} \delta(x-x_0) f(x)dx = f(x_0)$ para todo $a<x_0<b$ e $f(x)$ contínua em $x_0$.

Simbolicamente, é comum escrever:

$\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$

$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1$

É possível também encarar a distribuição Delta como um limite de aproximações da identidade.

Aplicação em Física

Em física, entre outras aplicações, ela é usada para representar densidades de objetos pontuais (e.g., carga pontual) e na normalização de operadores contínuos(e.g.,operador posição) da mecânica quântica.

Aplicação em Estatística

Em estatística, ela permite generalizar as fórmulas para variáveis aleatórias discretas e contínuas, por exemplo:

O valor esperado de uma variável aleatória contínua é escrito como:

• $E[X] = \int x f(x) dx$

Por outro lado, o valor esperado de uma variável aleatória discreta é escrito como:

• $E[X] = \sum x_i p(x_i)$

O uso da Delta de Dirac permite unificar estas duas fórmulas, definindo-se a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória discreta por:

• $f(x) = \sum p(x_i) \delta(x - x_i)$

Integral

Em certo sentido, pode-se dizer que a delta de Dirac é a derivada da função de passo Heaviside, ou que a integral da delta de Dirac é a função de passo Heaviside:

$H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} \mathrm{d}t$

Ver também

• Pente de Dirac