Delta de Dirac

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A distribuição delta de Dirac.

O Delta de Dirac ou, como costuma ser impropriamente chamada, a função Delta de Dirac, introduzida por Paul Dirac, é algo semelhante a uma função que teria as seguintes propriedades:[1]

  • \delta(x) = 0 \mbox{ se } x \ne 0
  • \delta(0) = \infty
  • \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1

Mas, como essas condições não são consistentes com a definição de função, diz-se que a Delta de Dirac é uma distribuição.

A Delta de Dirac é normalmente representada por δ(x) e seu análogo no domínio discreto é o Delta de Kronecker.

A Delta de Dirac possui a seguinte propriedade:[1]

\int\delta(x-x^\prime)f(x)dx = f(x^\prime)

Esta propriedade é conhecida como Propriedade da Filtragem. Note que a integral deve estar com limites tal que pegue o ponto x^\prime.

Definição[editar | editar código-fonte]

Define-se a distribuição Delta de Dirac como a seguir:

\int_{a}^{b} \delta(x-x_0)  f(x)dx = f(x_0) para todo a<x_0<b e f(x) contínua em x_0.

Simbolicamente, é comum escrever:

\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1

É possível também encarar a distribuição Delta como um limite de aproximações da identidade.

Aplicação em Física[editar | editar código-fonte]

Em física, entre outras aplicações, ela é usada para representar densidades de objetos pontuais (e.g., carga pontual) [2] e na normalização de operadores contínuos (e.g.,operador posição) da mecânica quântica.

Aplicação em Estatística[editar | editar código-fonte]

Em estatística, ela permite generalizar as fórmulas para variáveis aleatórias discretas e contínuas, por exemplo:

O valor esperado de uma variável aleatória contínua é escrito como:

  • E[X] = \int x f(x) dx

Por outro lado, o valor esperado de uma variável aleatória discreta é escrito como:

  • E[X] = \sum x_i p(x_i)

O uso da Delta de Dirac permite unificar estas duas fórmulas, definindo-se a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória discreta por:

  • f(x) = \sum p(x_i) \delta(x - x_i)

Integral[editar | editar código-fonte]

Em certo sentido, pode-se dizer que a delta de Dirac é a derivada da função de passo Heaviside, ou que a integral da delta de Dirac é a função de passo Heaviside:

 H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} \mathrm{d}t

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b A Função Delta de Dirac, notas de aula de Mecânica Quântica por Marcus A. M. de Aguiar, no site www.ifi.unicamp.br
  2. Utah State University, Department of Physics, Phys 3750, Wave Phenomena, Spring 2012, The Dirac Delta Function [em linha]