Teoria das distribuições

O termo distribuição é uma generalização do termo função. A teoria foi desenvolvida na metade do século 20 por Laurent Schwartz, que por sua genialidade recebeu a Medalha Fields.

Motivação

A teoria das distribuições foi desenvolvida a fim de manipular determinadas singularidades que surgem na física matemática. Por exemplo, a distribuição delta de Dirac é adequada para descrever conceitos da física teórica, como uma massa puntual ou uma carga elétrica. De uma função densidade tridimensional de uma massa concentrada unitária é necessário que a mesma seja nula em todos os pontos, com exceção de um único ponto, no qual a função é infinita, tal que a integral volumétrica da função densidade seja unitária. Não existe função ordinária que satisfaça esta propriedade da função densidade. No entanto, sendo a integral interpretada como um funcional, é possível descrever a densidade como uma distribuição delta de Dirac.

Atualmente distribuições são indispensáveis em diversos ramos da matemática, física e eletrotécnica, por exemplo na teoria das equações diferenciais parciais, bem como em análise de Fourier.

Definições

Definição de distribuições

Uma distribuição é uma transformação linear contínua de uma função teste nos números complexos. Isto significa que uma distribuição é uma transformação que associa a toda função teste um número. O conjunto das distribuições com suas correspondentes relações é portanto o espaço dual topológico do espaço das funções teste.

Notação

De acordo com a definição, uma distribuição associa a toda função teste um número

$T: \phi \to T(\phi) := (T,\phi)$

Na última equação $(T,\phi)$ é uma notação para o valor que a distribuição associa à função teste $\phi$. Diz-se: a distribuição T é aplicada sobre φ.

Exemplos

• Seja $\Omega \subseteq \R$ e $f \in C(\Omega)$, tal que para toda função teste $\phi \in C_c^\infty(\Omega)$ a expressão $\int_{-\infty}^\infty f(x) \phi(x) d x$ seja uma distribuição no espaço $\mathcal{D}'(\Omega)$.
• Seja $x_0 \in \Omega \subseteq \R^n$ e $\alpha \in \N^n$. Então para todo $\phi \in C_c^\infty(\Omega)$ a derivada parcial $(\partial_x^\alpha \phi)(x_0)$ é também um distribuição em $\mathcal{D}'(\Omega)$.
• o valor principal de Cauchy da função $\frac{1}{x}$ pode ser interpretado como a distribuição $T$

$\forall \phi \in C_c^\infty: \ T(\phi) := PV-\int_{-\infty}^\infty \frac{\phi(x)}{x} d x$.

Funções teste

Dentre os diversos espaços de funções teste serão descritos aqui três deles.

Seja

$C_c^{\infty}(\Omega) = \{ \phi \in C^{\infty}(\Omega,\mathbb{C}) \,|\, \operatorname{supp}\,\phi \mathrm{~um~subconjunto~compacto~de~} \Omega \}$

o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto, ou seja, que fora de um domínio compacto são nulas.

Funções teste para distribuições gerais

Para o primeiro espaço de funções teste, denotado por ${\mathcal D}(\Omega)$, é necessário um critério de convergência. Uma seqüência $(\phi_j)_{j\in \mathbb{N}}$ com $\phi_j \in C_c^\infty(\Omega)$ converge ao valor $\phi$, quando existe um conjunto compacto $K \subset \Omega$ com $\operatorname{supp}(\phi_j) \subset K$ para todo $j$ e

$\lim_{j \rightarrow \infty} \sup_{x\in K} \left| \frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha} \left( \phi_j (x) - \phi(x) \right) \right| = 0$

para todo multi-índice $\alpha \in \N^n$. O espaço $C_c^\infty(\Omega)$ juntamente com este critério de convergência fornece um espaço convexo local, denotado por ${\mathcal D}(\Omega)$.

Funções teste para distribuições com suporte compacto

Um outro espaço de funções teste é o espaço das funções suaves $C^\infty(\Omega)$. Este espaço, juntamente com a seguinte família de semi-normas e a topologia induzida é denotado por $\mathcal{E}(\Omega)$. A família de semi-normas é expressa por

$\phi \mapsto \sum_{|\alpha|\leq m} \sup_{x\in K} \left| \frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha} \phi(x) \right|.$

Esta norma induz uma topologia convexa local

Diese induziert eine lokal-konvexe Topologie. Hierbei ist $m \in \mathbb{N}$ und $K \subset \Omega$ durchläuft alle Kompakta. Der Raum der Distributionen, welcher durch $\mathcal{E}(\Omega)$ erzeugt wird, wird mit $\mathcal{E}'(\Omega)$ bezeichnet und heißt Raum der Distributionen mit kompaktem Träger, da gilt

$\mathcal{E}'(\Omega) = \{T \in \mathcal{D}': \operatorname{supp}(T) \subset \Omega, \operatorname{supp}(T) \mathrm{kompakt}\}.$

Dies ist der topologische Dualraum zu $\mathcal{E}(\Omega)$.

Espaço das funções de decaimento rápido

Hauptartikel: Schwartz-Raum

Der dritte Testfunktionenraum der hier beschrieben wird sind die sogenannten schnell fallenden Funktionen. Im Unterschied zu den vorhergehenden werden diese meist dann verwendet, wenn Distributionen auf unbeschränkten Gebieten benötigt werden. Schnell fallende Funktionen sind unendlich oft differenzierbar und streben im Unendlichen so schnell gegen 0, dass sie und alle ihre Ableitungen multipliziert mit einer beliebigen Potenz immer noch gegen 0 gehen. Die Menge all dieser Testfunktionen wird als Schwartz-Raum ${\mathcal S}(\R^n)$ bezeichnet:

${\mathcal S}(\R^n) = \{ \phi \in C^\infty(\R^n) \,|\, \forall k \in \mathbb{N}_0^n, \alpha\in \mathbb{N}_0^n \;\exists C \geq 0:\; \sup_{x\in\Omega} |x^k D^\alpha \phi(x) | \leq C \}$

Dieser Raum ist unter der Fourier-Transformation invariant und in allen espaços de Sobolev enthalten. Die mit diesen Testfunktionen definierten Distributionen nennt man temperierte oder auch langsam wachsende Distributionen und schreibt ${\mathcal S}'(\Omega)$.

Die wesentliche Eigenschaft der Schwartzfunktionen ist, dass sie Fouriertransformierbar sind und dass die Fouriertransformation ein Isomorphismus auf $\mathcal{S}$ ist.

Distribuições regulares

Reguläre Distributionen (s.u.) lassen sich als Integraloperatoren $T_f$ schreiben:

$T_f(\phi) = \int_\R f(t) \phi(t) dt$.

Hierbei ist $f\in L_1^{loc}(\R)$ eine lokal integrierbare Funktion. Nicht alle Distributionen lassen sich auf diese Weise schreiben, weil es nicht immer eine solche Funktion $f(t)$ gibt. Würde man zum Beispiel die Delta-Distribution als reguläre Distribution annehmen, erhält man den Widerspruch $\delta = 0$ (als Distribution).

In der Praxis kann man diese Schreibweise für allgemeine Distributionen verwenden, wenn man aus dem Integralzeichen entsprechend eine Klammer macht.

Propriedades

Interpretation einer gewöhnlichen Funktion als Distribution

Distributionen sind Verallgemeinerungen von reellen Funktionen im folgenden Sinn: Sei h eine gewöhnliche, auf der gesamten reellen Achse definierte, stückweise stetige Funktion und $\Phi$ eine Testfunktion, so dass

$\int_{-\infty}^{\infty} h(t) \phi (t) dt$

existiert. Dann ist durch

$[h] : \phi \mapsto \int_{-\infty}^{\infty} h(t) \phi (t) dt =: [h](\phi)$

eine Distribution [h] definiert. Eine solche Funktion h ist eindeutig (bis auf eine Nullmenge) durch die von ihr erzeugte Distribution [h] festgelegt. Distributionen, die in dieser Weise aus Funktionen entstanden sind, werden regulär genannt.

Diese Erkenntnis ist der Kern der Bedeutung von Distributionen. In manchen Rechnungen mit „gewöhnlichen Funktionen“ treten Singularitäten auf. Interpretiert man eine solche Funktion als Distribution, kann man trotz Singularitäten ohne Probleme weiterrechnen. Ein prominentes Beispiel ist die formale Identität (s.u.):   $\nabla^2\, \frac{1}{|\mathbf r -\mathbf r'|}=-4\pi\,\delta(\mathbf r-\mathbf r')$  aus der Elektrostatik, die im Zusammenhang mit folgendem Integral auftritt: $U (\mathbf r):=\int\,\mathrm d^3r' \frac{\phi (\mathbf r')}{|\mathbf r -\mathbf r'|}\,.$ Man kann die oben angegebene Identität benutzen, um nachzuweisen, dass U die sog. Poisson-Gleichung $\nabla^2 U(\mathbf r) {=} -4\pi\phi (\mathbf r)$ löst; $\nabla^2$ ist der Laplace-Operator ($\nabla^2=\partial_{x,x}+\partial_{y,y}+\partial_{z,z}$). Bei Verwendung von Distributionen, d.h. bei Differentiation unter dem Integral, erhält man mit den Eigenschaften der unten ausführlich behandelten Delta-Distribution $\delta(\mathbf r-\mathbf r')$ sehr schnell eine sog. „schwache Lösung“, die dann gegebenenfalls noch „regularisiert“ werden kann (z. B.: wenn $\Phi$ stetig ist, ist $U$ zweimal stetig differenzierbar und erfüllt die Poisson-Gleichung im gewöhnlichen Sinn).

Die Delta-Distribution

Die oben angesprochene Delta-Distribution ist eine irreguläre Distribution; sie kann nicht durch eine gewöhnliche Funktion dargestellt werden, obwohl sie oft wie eine solche geschrieben wird. Es gilt:

$\delta (\phi) := \phi (0).\;$

Sprich: Die Delta-Distribution angewendet auf eine Testfunktion Φ ergibt die Testfunktion an der Stelle 0.

Dies ist ein Spezialfall der folgenden allgemeineren Definition (mit $a \in \Omega$):

$\delta_a (\phi) :=\phi (a)\;.$

Die Schreibweise „wie eine gewöhnliche Funktion“ ist $\delta_a\,\hat =\,\delta(t-a)$. d.h. man setzt formal $h(t)=\delta (t-a)$.

Stauchung und Verschiebung

Sei $D(t)$ eine beliebige Distribution, so ist

$D \left( \frac {t-t_0} {\tau} \right) (\phi(t)) := |\tau| \, D(t)(\phi (t\tau+t_0)).$

Für die Delta-Distribution (siehe oben) gilt somit:

$\delta \left( \frac {t-t_0} {\tau} \right) (\phi(t)) = |\tau| \, \phi (t_0).$

Operações com distribuições

Da die drei zu Anfang behandelten Distributionenräume Vektorräume sind, sind die Addition von Distributionen und die Multiplation einer komplexen Zahl mit einer Distribution schon definiert. Im Folgenden werden noch die Multiplikation einer Funktion $f \in C^\infty(\Omega)$ mit einer Distribution und die Ableitung einer distribution definiert.

Multiplicação com uma função

Sei $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ und $a \in C^\infty(\Omega)$. Dann wird die Distribution $a T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ definiert als

$(aT)(\phi) := T(a\phi): \ \forall \phi \in \mathcal{D}(\Omega)$.

Diferenciação

Betrachtet man eine stetig differenzierbare Funktion $f$ und die ihr zugeordnete reguläre Distribution $T_f$, so erhält man die Rechenregel

$\begin{align} (T_{f^\prime},\phi) &= \int_{\Omega} f^\prime(t) \phi(t) \,\mathrm{d}t\\ &= -\int_{\Omega} f(t) \phi^\prime(t) \,\mathrm{d}t\\ &= -(T_f,\phi^\prime). \end{align}$

Hierbei wurde partielle Integration verwendet, wobei die Randterme wegen der gewählten Eigenschaften der Testfunktion $\Phi$ wegfallen. Dies entspricht der schwachen Ableitung. Die äußeren beiden Terme sind auch für singuläre Distributionen definiert, und man verwendet dies zur Definition der Ableitung einer beliebigen Distribution $T$.

Sei also $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ eine Distribution und $\alpha \in \N^n$. Dann wird eine Distribution $\partial_x^\alpha T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ definiert als

$(\partial_x^\alpha T)(\phi) := (-1)^{|\alpha|} T(\partial_x^\alpha \phi), \ \forall \phi \in \mathcal{D}(\Omega)$.

Exemplo: Função de Heaviside e distribuição Delta

Die Heaviside-Funktion $H : \R \rightarrow \R$ ist durch

$H(x) = \begin{cases} 0 : & x \le 0 ,\\ 1 : & x > 0 ,\end{cases}$

definiert. Sie ist mit Ausnahme von $x = 0$ überall differenzierbar. Man kann sie als reguläre Distribution betrachten, und die Rechnung

$\begin{align} (H^\prime,\phi) &= -(H,\phi^\prime)\\ &= -\int_0^\infty 1\cdot\phi^\prime(x)\,\mathrm{d}x\\ &= \phi(0)\\ &= (\delta,\phi) \end{align}$

zeigt, dass ihre Ableitung (als Distribution) die Delta-Distribution ist:

$H^\prime = \delta.$

Man kann außerdem die Delta-Distribution selbst noch ableiten:

$\left(\delta^{(n)},\phi\right) = (-1)^n \left(\delta,\phi^{(n)}\right) = (-1)^n\phi^{(n)}(0).$

Die Ableitungen der Delta-Distribution werten also die Ableitungen der Testfunktion an der Stelle $x = 0$ aus.

Bibliografia

• Israel Gelfand: Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen). Bände I - III (1958 mit G.E. Schilow), IV (1960 mit N.J. Wilenkin), V (1962 mit M.I. Graev und N.J. Wilenkin), VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost).
• Michael James Lighthill: An introduction to Fourier analysis and generalised functions, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4.
• Joseph Wloka: Grundräume und Verallgemeinerte Funktionen, Lecture Notes in Mathematics 82, Springer-Verlag 1968, ISBN 3-540-04250-4.