Análise harmónica

A análise harmônica é o ramo da matemática que estuda a representação de funções ou sinais como a sobreposição de ondas base. Ela investiga e generaliza as noções das séries de Fourier e da transformação de Fourier. As ondas básicas são chamadas de harmónicas, e este ramo da matemática logo passou a ser conhecido pelo nome de "análise harmónica". Nos dois séculos passados (XIX e XX), tornou-se um tema vasto, com aplicações em áreas tão diversas como o processamento de sinais, mecânica dos quanta, e ciência neuronal.

Determinação dos coeficientes de uma série trigonométrica

Suponhamos que a função f(x) de uma variável real independente x, definida no intervalo (-π, +π), possa ser representada por uma série trigonométrica, “uniformemente convergente” em todos os seus pontos de definição, isto é:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum (a_n Cos (nx) + b_n Sen (nx))$ (1)

$n = 1,2,3,...$

As funções uniformes no intervalo (-π,+π) ou (0,2π), contínuas ou com número finito de descontinuidades finitas e que não tenham número infinito de máximos e mínimos no intervalo considerado podem ser desenvolvíveis em séries deste tipo. As funções encontradas em problemas práticos geralmente satisfazem estas condições. (Se x0 é um ponto de descontinuidade finita da função, a série dá para este ponto o valor médio.)

O cálculo do coeficiente an, do termo geral em cosseno, é obtido multiplicando-se ambos os membros de (1) por cos nx dx e integrando-se entre os limites –π e +π. Assim:

$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos (nx) dx = \frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi} Cos (nx) dx + a_n \int_{-\pi}^{\pi} Cos^2 (nx) dx + b_n \int_{-\pi}^{\pi} sen (nx) cos (nx) dx$

$= 0 + a_n \pi + 0$

$= a_n \pi$

Logo:

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) Cos (nx) dx$

Observação:

• se m≠n
  $Sen (mx) Cos (nx) = \frac{1}{2} [Sen (m+n) x + Sen (m-n) x]$
  e, portanto, a integral indefinida será:
  $- \frac{1}{2}[ \frac{Cos (x(m+n))}{m+n} + \frac{Cos (x(m-n))}{m-n}]$
  o que permite constatar que a integral definida (-π,+π) é nula.

• se m=n
  $Sen (nx) Cos (nx) = \frac{1}{2} Sen (2nx)$
  e a integral indefinida será
  $-(1/2) (cos 2nx)/2n$
  que é nula no intervalo (-π,+π).

Analogamente, multiplicando-se ambos os membros de (1) por $sen (nx) dx$ e integrando-se, obtemos:

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) Sen (nx) dx$

Numericamente estes termos podem ser calculados assim:

$a_n = \frac{1}{ \pi } \delta x \sum (f(x) Cos nx)$

$n = 1,2,3,...$

$b_n = \frac{1}{ \pi } \delta x \sum (f(x) Sin nx)$

$n = 1,2,3,...$

onde:

Δx = 2π/N (os intervalos Δx são iguais portanto, e em radianos)

(1/π)Δx = Δx/π = (2π/N)/π = 2/N

N = Número de intervalos correspondentes a um comprimento de onda.

Portanto:

an = (2/N). Σ (f(x).cos nx)

n = 1,2,3,...

bn = (2/N). Σ (f(x).sen nx)

n = 1,2,3,...

Observação: Os valores de xn são convertidos para radianos:

xn = 2π.(fração de λ correspondente a xn)

isto é:

xn = 2π.( xn' - x0' )/( xm' - x0' )

onde x0' é o valor da variável independente, em qualquer unidade, em que começa um comprimento de onda e xm' aquele em que termina o comprimento de onda considerado.

De forma análoga se calcula os coeficientes bn, sendo que b0 = 0 pois sen 0 = 0.

Se a função é simétrica em relação ao eixo x, é dita "função ímpar" e não tem coeficientes de ordem par.

Ligações externas

• Harmônicos em Sistemas de Potência
• Aplicação da Análise Harmônica para previsão na cultura do café
• Harmonux, programa de código aberto em pascal

Bibliografia

• Matemática para a Engenharia, Homero Pinto Caputo, Ao Livro Técnico S.A., 1969