Tabela de derivadas

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A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir, f e g são deriváveis em \mathbb{R}, e c é um número real. Essas fórmulas são suficientes para derivar qualquer função elementar.

Regras gerais de derivação[editar | editar código-fonte]

Regra da soma

\left({f + g}\right)' = f' + g'

Regra da subtração

(f-g)' = f' - g'

Regra da multiplicação por um escalar

(cf)' = cf'

Regra do produto

\left({fg}\right)' = f'g + fg'

Regra do quociente

 \left(\frac{f}{g}\right)'= \frac{f'g-fg'}{g^2} sendo esta válida para todo x no domínio das funções com g(x)\neq 0.

Regra da Cadeia

(f \circ g)' = (f' \circ g)g'

onde (f\circ g)(x) := f(g(x)) é a composição de f com g. Sendo esta válida para x no domínio da função g e tal que g(x) esteja no domínio da função f.

Derivadas de funções simples[editar | editar código-fonte]

{d \over dx} c = 0
{d \over dx} x = 1
{d \over dx} cx = c
{d \over dx} x^c = cx^{c-1}
{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}
{d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}
{d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas[editar | editar código-fonte]

\frac{d}{dx}[c^x] = c^x \ln c,\quad c>0

\frac{d}{dx} e^x = e^x

{d \over dx} c^{f(x)} = {c^{f(x)} \ln c {df \over dx}},\quad c > 0

\frac{d}{dx} e^{f(x)} = e^{f(x)} \frac{d f}{dx}

\frac{d}{dx} \log_b |x| = \frac{1}{x\ln b}

\frac{d}{dx} \ln |x| = \frac{1}{x}

Derivadas de funções trigonométricas[editar | editar código-fonte]

As igualdades abaixo não são independentes. A fórmula para a derivada da tangente, por exemplo, resulta das fórmulas para as derivadas do seno e do cosseno e da fórmula para a derivada do quociente:

\frac{d}{dx} \text{sen } x = \text{cos } x
\frac{d}{dx} \text{cos } x = - \text{sen } x
{d \over dx} \mbox{ tg } x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}
{d \over dx} \sec x = \mbox{ tg } x \sec x
{d \over dx} \mbox{ cotg } x = -\mbox{cossec }^2 x = { -1 \over \mbox{sen}^2 x}
{d \over dx} \mbox{ cossec } x = -\mbox{cossec } x \mbox{ cotg } x

Derivadas de funções trigonométricas inversas[editar | editar código-fonte]

{d \over dx} \mbox{ arc sen } x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \text{arc cos } x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \mbox{ arc tg } x = { 1 \over 1 + x^2}
{d \over dx} \text{arc sec } x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx} \mbox{ arc cotg } x = {-1 \over 1 + x^2}
{d \over dx} \mbox{ arc cossec } x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

Derivadas de funções hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

{d \over dx} \mbox{ senh } x = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
{d \over dx} \cosh x = \mbox{ senh } x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
{d \over dx} \mbox{ tgh } x = \mbox{sech}^2\,x
{d \over dx}\,\mbox{ sech }\,x = - \mbox{ tgh } x\,\mbox{ sech }\,x
{d \over dx}\,\mbox{ cotgh }\,x = -\,\mbox{ cossech}^2\,x
{d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{cossech}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{arcsinh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
{d \over dx}\,\operatorname{arccosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx}\,\operatorname{arctanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}
{d \over dx}\,\operatorname{arcsech}\,x = { -1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx}\,\operatorname{arccoth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}
{d \over dx}\,\operatorname{arccossech}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}