Tabela de derivadas

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A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir, f e g são deriváveis em \mathbb{R}, e c é um número real. Essas fórmulas são suficientes para derivar qualquer função elementar.

Regras gerais de derivação[editar | editar código-fonte]

Linearidade
\left({cf}\right)' = cf'
\left({f + g}\right)' = f' + g'
Regra do produto
\left({fg}\right)' = f'g + fg'
Regra do quociente
 \left(\frac{f}{g}\right)'= \frac{f'g-fg'}{g^2}
Regra da Cadeia
(f \circ g)' = (f' \circ g)g'

onde (f \circ g)(x) está definido como f(g(x))

Derivadas de funções simples[editar | editar código-fonte]

{d \over dx} c = 0
{d \over dx} x = 1
{d \over dx} cx = c
{d \over dx} x^c = cx^{c-1} \qquad \mbox{ onde tanto } x^c \mbox{ quanto } cx^{c-1} \mbox{ são definidos}
{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}
{d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}
{d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas[editar | editar código-fonte]

{d \over dx} c^{f(x)} = {c^{f(x)} \ln c *{df \over dx}},\qquad c > 0

onde ' * ' equivale à operação de multiplicação usual.

Derivadas de funções trigonométricas[editar | editar código-fonte]

As igualdades abaixo não são independentes. A fórmula para a derivada da tangente, por exemplo, resulta das fórmulas para as derivadas do seno e do co-seno e da fórmula para a derivada do quociente:

\tan'=\left(\frac{\operatorname{sen}}\cos\right)'=\frac{\cos.\operatorname{sen}'-\operatorname{sen}.\cos'}{\cos^2}=\frac{\cos^2+\operatorname{sen}^2}{\cos^2}=\left\{\begin{array}{l}\frac1{\cos^2}=\sec^2\\\frac{\cos^2}{\cos^2}+\frac{\operatorname{sen}^2}{\cos^2}=1+\tan^2.\end{array}\right.
{d \over dx} \sen x = \mbox{cos} x, ou, dito de outra maneira, \operatorname{sen}'=\cos;
{d \over dx} \cos x = -\mbox{sen } x, ou, dito de outra maneira, \cos'=-\operatorname{sen}
{d \over dx} \mbox{ tg } x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}, ou, dito de outra maneira, \tan'=1+\tan^2=\sec^2
{d \over dx} \sec x = \mbox{ tg } x \sec x
{d \over dx} \mbox{ cotg } x = -\mbox{cossec }^2 x = { -1 \over \mbox{sen}^2 x}, ou, dito de outra maneira, \cot'=-1-\cot^2=-\csc^2.
{d \over dx} \mbox{ cossec } x = -\mbox{cossec } x \mbox{ cotg } x
{d \over dx} \mbox{ arcsen } x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}. Ou seja, (\forall x\in]-1,1[):\operatorname{arccos}'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}.
{d \over dx} \mbox{ arctg } x = { 1 \over 1 + x^2}. Isso é a mesma coisa que dizer que (\forall x\in\mathbb{R}):\arctan'(x)=\frac1{1+x^2}.
{d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}. Dito de outra maneira, isso significa que (\forall x\in]-1,1[):\operatorname{arcsec}'(x)=\frac1{|x|\sqrt{x^2 - 1}};
{d \over dx} \mbox{ arccotg } x = {-1 \over 1 + x^2}. Ou seja, (\forall x\in\mathbb{R}):\operatorname{arccot}'(x)=-\frac1{1+x^2}\cdot
{d \over dx} \mbox{ arccossec } x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

Derivadas de funções hiperbólicas[editar | editar código-fonte]

{d \over dx} \mbox{ senh } x = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
{d \over dx} \cosh x = \mbox{ senh } x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
{d \over dx} \mbox{ tgh } x = \mbox{sech}^2\,x
{d \over dx}\,\mbox{ sech }\,x = - \mbox{ tgh } x\,\mbox{ sech }\,x
{d \over dx}\,\mbox{ cotgh }\,x = -\,\mbox{ cossech}^2\,x
{d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{cossech}\,x
{d \over dx}\,\operatorname{arcsinh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
{d \over dx}\,\operatorname{arccosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx}\,\operatorname{arctanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}
{d \over dx}\,\operatorname{arcsech}\,x = { -1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx}\,\operatorname{arccoth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}
{d \over dx}\,\operatorname{arccossech}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}