Tabela de derivadas

Topicos em Cálculo

Teorema fundamental Limite de uma função Continuidade Teorema do valor médio Cálculo  Derivada Mudança de variáveis Funções implícitas e explícitas Teorema de Taylor Taxas relacionadas Regras e identidades: Regra do produto, Regra do quociente, Regra da cadeia Integral  Integral Tábua de integrais Integrais impróprias Integração por: partes, substituição trigonométrica, frações parciais, Ordem de integração Cálculo vetorial  Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Cálculo multivariável  Cálculo matricial Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana

A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir, f e g são deriváveis em $\mathbb{R}$, e c é um número real. Essas fórmulas são suficientes para derivar qualquer função elementar.

Regras gerais de derivação

Linearidade

$\left({cf}\right)' = cf'$

$\left({f + g}\right)' = f' + g'$

Regra do produto

$\left({fg}\right)' = f'g + fg'$

Regra do quociente

$\left(\frac{f}{g}\right)'= \frac{f'g-fg'}{g^2}$

Regra da Cadeia

$(f \circ g)' = (f' \circ g)g'$

onde (f $\circ$ g)(x) está definido como f(g(x))

Derivadas de funções simples

${d \over dx} c = 0$

${d \over dx} x = 1$

${d \over dx} cx = c$

${d \over dx} x^c = cx^{c-1} \qquad \mbox{ onde tanto } x^c \mbox{ quanto } cx^{c-1} \mbox{ são definidos}$

${d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}$

${d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0$

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

${d \over dx} c^{f(x)} = {c^{f(x)} \ln c *{df \over dx}},\qquad c > 0$

Derivadas de funções trigonométricas

As igualdades abaixo não são independentes. A fórmula para a derivada da tangente, por exemplo, resulta das fórmulas para as derivadas do seno e do co-seno e da fórmula para a derivada do quociente:

$\tan'=\left(\frac{\operatorname{sen}}\cos\right)'=\frac{\cos.\operatorname{sen}'-\operatorname{sen}.\cos'}{\cos^2}=\frac{\cos^2+\operatorname{sen}^2}{\cos^2}=\left\{\begin{array}{l}\frac1{\cos^2}=\sec^2\\\frac{\cos^2}{\cos^2}+\frac{\operatorname{sen}^2}{\cos^2}=1+\tan^2.\end{array}\right.$

${d \over dx} \sen x = \mbox{cos} x$, ou, dito de outra maneira, $\operatorname{sen}'=\cos\,$;

${d \over dx} \cos x = -\mbox{sen } x$, ou, dito de outra maneira, $\cos'=-\operatorname{sen}\,$

${d \over dx} \mbox{ tg } x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}$, ou, dito de outra maneira, $\tan'=1+\tan^2=\sec^2\,$

${d \over dx} \sec x = \mbox{ tg } x \sec x$

${d \over dx} \mbox{ cotg } x = -\mbox{cossec }^2 x = { -1 \over \mbox{sen}^2 x}$, ou, dito de outra maneira, $\cot'=-1-\cot^2=-\csc^2\,$.

${d \over dx} \mbox{ cossec } x = -\mbox{cossec } x \mbox{ cotg } x$

${d \over dx} \mbox{ arcsen } x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}$. Ou seja, $(\forall x\in]-1,1[):\operatorname{arccos}'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$.

${d \over dx} \mbox{ arctg } x = { 1 \over 1 + x^2}$. Isso é a mesma coisa que dizer que $(\forall x\in\mathbb{R}):\arctan'(x)=\frac1{1+x^2}$.

${d \over dx} \arcsec x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$. Dito de outra maneira, isso significa que $(\forall x\in]-1,1[):\operatorname{arcsen}'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$;

${d \over dx} \mbox{ arccotg } x = {-1 \over 1 + x^2}$. Ou seja, $(\forall x\in\mathbb{R}):\operatorname{arccot}'(x)=-\frac1{1+x^2}\cdot$

${d \over dx} \mbox{ arccossec } x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

Derivadas de funções hiperbólicas

${d \over dx} \mbox{ senh } x = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

${d \over dx} \cosh x = \mbox{ senh } x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

${d \over dx} \mbox{ tgh } x = \mbox{sech}^2\,x$

${d \over dx}\,\mbox{ sech }\,x = - \mbox{ tgh } x\,\mbox{ sech }\,x$

${d \over dx}\,\mbox{ cotgh }\,x = -\,\mbox{ cossech}^2\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{cossech}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname{arcsinh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$

${d \over dx}\,\operatorname{arccosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx}\,\operatorname{arctanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$

${d \over dx}\,\operatorname{arcsech}\,x = { -1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx}\,\operatorname{arccoth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$

${d \over dx}\,\operatorname{arccossech}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}$