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Cálculo
Cálculo integral
Definições
Integração por
Uma tábua de integrais [ 1] tabela de integrais ) é uma lista que relaciona funções a famílias de antiderivadas apropriadas. Associada às propriedades de integração, tais tabelas são ferramentas de auxílio no cálculo de integrais . Este artigo contém uma tabela de integração para funções comumente utilizadas. Ao longo do texto,
a
,
c
∈
R
{\displaystyle a,c\in \mathbb {R} }
C
{\displaystyle C}
livros-texto de cálculo[ 2] [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] [ 9]
∫
c
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int cf(x)\,dx=c\int f(x)\,dx}
∫
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
+
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx}
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
para
n
≠
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ para }}n\neq -1}
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C}
[ 10]
∫
1
a
2
+
x
2
d
x
=
1
a
arc tg
x
a
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\,dx={\frac {1}{a}}{\mbox{arc tg }}{\frac {x}{a}}+C}
∫
1
a
2
−
x
2
d
x
=
1
2
a
ln
|
a
+
x
a
−
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}-x^{2}}}dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {a+x}{a-x}}\right|+C}
[ 11]
∫
log
a
x
d
x
=
x
log
a
x
−
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C}
∫
ln
x
d
x
=
x
(
ln
x
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}
∫
1
a
2
−
x
2
d
x
=
arc sen
x
a
+
C
{\displaystyle \int {1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx={\mbox{arc sen }}{\frac {x}{a}}+C}
∫
−
1
a
2
−
x
2
d
x
=
arccos
x
a
+
C
{\displaystyle \int {-1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=\arccos {\frac {x}{a}}+C}
∫
1
x
x
2
−
a
2
d
x
=
1
a
arc sec
|
x
a
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}dx={\frac {1}{a}}{\mbox{arc sec }}\left|{\frac {x}{a}}\right|+C}
∫
1
a
2
+
x
2
d
x
=
ln
|
x
+
x
2
+
a
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}dx=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|+C}
∫
1
x
2
−
a
2
d
x
=
ln
|
x
+
x
2
−
a
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}dx=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C}
∫
1
x
a
2
−
x
2
d
x
=
−
1
a
ln
|
a
+
a
2
−
x
2
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}dx=-{\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}\right|+C}
∫
1
x
a
2
+
x
2
d
x
=
−
1
a
ln
|
a
+
a
2
+
x
2
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}dx=-{\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {a+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{x}}\right|+C}
∫
cos
x
d
x
=
sen
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\operatorname {sen} {x}+C}
∫
sen
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sen }}{x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫
tg
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{tg }}{x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}
[ 12]
∫
cossec
x
d
x
=
ln
|
cossec
x
−
cotg
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{cossec }}{x}\,dx=\ln {\left|{\mbox{cossec }}{x}-{\mbox{cotg }}{x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tg
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+{\mbox{tg }}{x}\right|}+C}
∫
cotg
x
d
x
=
ln
|
sen
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{cotg }}{x}\,dx=\ln {\left|{\mbox{sen }}{x}\right|}+C}
∫
sec
x
tg
x
d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}{\mbox{tg }}{x}\,dx=\sec {x}+C}
∫
cossec
x
cotg
x
d
x
=
−
cossec
x
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{cossec }}{x}{\mbox{cotg }}{x}\,dx=-{\mbox{cossec }}{x}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tg
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx={\mbox{tg }}x+C}
∫
cossec
2
x
d
x
=
−
cotg
x
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{cossec}}^{2}x\,dx=-{\mbox{cotg }}x+C}
∫
sen
2
x
d
x
=
1
2
(
x
−
sen
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sen}}^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-{\mbox{sen }}x\cos x)+C}
∫
cos
2
x
d
x
=
1
2
(
x
+
sen
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+{\mbox{sen }}x\cos x)+C}
∫
senh
x
d
x
=
cosh
x
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{senh }}x\,dx=\cosh x+C}
∫
cosh
x
d
x
=
senh
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh x\,dx={\mbox{senh }}x+C}
∫
tgh
x
d
x
=
ln
(
cosh
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{tgh }}x\,dx=\ln(\cosh x)+C}
∫
cossech
x
d
x
=
ln
|
tgh
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{cossech}}\,x\,dx=\ln \left|{\mbox{tgh }}{x \over 2}\right|+C}
∫
sech
x
d
x
=
arctg
(
senh
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx={\mbox{arctg }}({\mbox{senh }}x)+C}
∫
cotgh
x
d
x
=
ln
|
senh
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\mbox{cotgh }}x\,dx=\ln |{\mbox{senh }}x|+C}
∫
0
∞
x
e
−
x
d
x
=
1
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
=
1
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}
∫
0
∞
x
e
x
−
1
d
x
=
π
2
6
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
∫
0
∞
x
3
e
x
−
1
d
x
=
π
4
15
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}
∫
0
∞
sin
(
x
)
x
d
x
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\sqrt {\pi }}}
Função gama :
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
x
z
−
1
e
−
x
d
x
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx}
[ 13] Função erro :
erf
(
x
)
=
2
π
∫
0
x
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle {\text{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}
Logaritmo integral :
Li
(
x
)
=
∫
0
x
d
t
ln
t
{\displaystyle {\text{Li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}
Integral elíptica de primeiro tipo:
F
(
a
,
θ
)
=
∫
0
sen
θ
d
x
(
1
−
x
2
)
(
1
−
a
2
x
2
)
{\displaystyle F(a,\theta )=\int _{0}^{{\text{sen }}\theta }{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-a^{2}x^{2})}}}}
Seno integral :
Si
(
x
)
=
∫
0
x
sen
t
t
d
t
{\displaystyle {\text{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {{\text{sen }}t}{t}}dt}
Cosseno integral :
Ci
(
x
)
=
−
∫
x
∞
cos
t
t
d
t
{\displaystyle {\text{Ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {{\text{cos}}t}{t}}dt}
Referências
↑ «O Monitor - Resolve, confere e ilustra» . omonitor.io . Consultado em 22 de março de 2016 ↑ Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 1 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522112586 ↑ Anton, Howard (2007). Cálculo - Volume 1 8 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788560031634 ↑ Leithold, Louis (1994). Cálculo com Geometria Analítica - Volume 1 3 ed. [S.l.]: Harbra. ISBN 8529400941 ↑ Bronstein, I.N. (2007). Handbook of Mathematics 5 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 9783540721215 ↑ ABRAMOWITZ, M; STEGUN, I.A.; Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables . National Bureau of Standards, Applied Mathematics, 1972.
↑ BRAVO, J. C. V.;Tabelas de Integrais Indefinidas . Universidade Federal do Paraná
↑ SMIGLY, Douglas; Identidades Trigonométricas, Derivadas e Integrais . Universidade de São Paulo .
↑ Tabela de Derivadas, Integrais e Identidades Trigonometricas . Universidade Federal do ABC . ↑ Não é geral, entretanto: https://math.stackexchange.com/a/234634
↑ «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor » . omonitor.io . Consultado em 22 de março de 2016 ↑ «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor » . omonitor.io . Consultado em 22 de março de 2016 ↑ «O Monitor - Resolve, confere e ilustra» . omonitor.io . Consultado em 22 de março de 2016 
![{\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc2c6e2acadf432d22ca42bc6a21af25e48e64d)
Ver artigo principal: Lista de integrais de funções racionais
