Integral elíptica

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No cálculo integral, integrais elípticas originalmente surgiram em conexão com o problema do comprimento do arco de uma elipse e foi inicialmente estudada por Giulio Fagnano e Leonhard Euler.

Na sua definição moderna, uma integral elíptica é qualquer função f que pode ser expressa na forma:

 f(x) = \int_{c}^{x} R \left(t, \sqrt{P(t)} \right) dt

Onde R é uma função racional de dois argumentos, P é um polinômio de grau 3 ou 4 com nenhuma raiz repetida, e c é uma constante.

Em geral, integrais elípticas não podem ser expressas em termos de funções elementares; exceto quando P tem raízes repetidas, ou quando R(x,y) não contem nenhuma potência de ordem ímpar de y. Contudo, com apropriadas reduções de fórmulas, cada integral elíptica pode ser quebrada em uma forma que envolve integrais sobre funções racionais, e as três formas canônicas (isto é, uma integral elíptica de primeira, segunda ou terceira forma).

Além destas formas, as integrais elípticas pode ser expressas na forma de Legendre e na forma simétrica Carlson. Uma visão adicional da teoria das integrais elípticas foi obtida através de estudos do mapeamento de Schwarz-Christoffel

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