Elipse

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Fig. 1: Uma elipse é a intersecção de uma superfície cônica com um plano que a corta numa curva fechada.

Em geometria, uma elipse é um tipo de secção cônica: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intersecte as duas folhas do cone, a intersecção entre o cone e o plano é uma elipse. Para uma prova elementar disto, veja esferas de Dandelin.

Em alguns contextos, pode-se considerar o círculo e o segmento de reta como casos especiais de elipses; no caso do círculo, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.

A elipse tem dois focos, que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de reta. A elipse é também a intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.

As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respetivamente, de semi-eixo maior (a) e semi-eixo menor (b).

Equações[editar | editar código-fonte]

Fig. 2: Uma elipse e algumas de suas propriedades. c = a \cdot e

Coordenadas Cartesianas[editar | editar código-fonte]

Algebricamente, uma elipse é a curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0

tal que

B^2 < 4 AC, onde todos os coeficiente são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x , y) na elipse, existe. O caso A = C, A \ne 0, B = 0 corresponde ao círculo. Quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados, a equação anterior torna a forma mais simples:
\left(\frac{x-h}{a}\right)^2 +\left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1,

onde (h ,k) é o centro da elipse, e a e b são os semi-eixos da elipse.

Outras equações úteis:

1) Centro na Origem:

a) Eixo maior paralelo ao eixo x: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

b) Eixo maior paralelo ao eixo y: \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1

2) Centro como um vértice, geralmente apresentado como C~(h,k):

a) Eixo maior paralelo ao eixo x: \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

b) Eixo maior paralelo ao eixo y: \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1

Coordenadas polares[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas polares, existem duas formas principais de se descrever a elipse:

a) Com origem no centro da elipse: r = \frac{ab}{\sqrt{a^2\mathrm{sen}\,^2\theta+b^2\cos^2\theta}}

b) Com origem em um dos focos: r = \frac {a (1 - e^2)} {1 + e \cos \theta}, sendo e a excentricidade.

Essa forma é muito conveniente para aplicações em mecânica celeste, neste caso o ângulo \theta é chamado de anomalia verdadeira e é representado pela letra grega \nu (nu ou ni)

Coordenadas paramétricas[editar | editar código-fonte]

\left\{
\begin{matrix}
x & = & h + a\cos t \\ y & = & k + b\mathrm{sen}\, t
\end{matrix}
\right.

A elipse como lugar geométrico[editar | editar código-fonte]

Fig. 3: A elipse pode ser construída usando-se dois pregos, um barbante e um lápis.

A elipse é o conjunto dos pontos P do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F_1~e~F_2 (focos) é constante. O teorema de Dandelin mostra que esta caracterização da elipse é equivalente à definição como secção cónica.

Ou seja, se dist(F_1, F_2) = 2c, então a elipse é o conjunto dos pontos P tais que dist(P, F_1) + dist(P, F_2) = 2a em que a\ge c (no caso especial do círculo, os pontos F_1~e~F_2 coincidem então c = 0~e~a = r , com r sendo o raio do círculo).

A excentricidade da elipse é definida por e = \frac{c}{a}.

Tem-se 0\le e<1 (de novo, e = 0 apenas no caso da circunferência, o caso e = 1 corresponderia ao segmento de reta, mas normalmente e = 1 corresponde a uma parábola). Se a for o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor da elipse, então pelo teorema de Pitágoras vem

e =\frac{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}{a}

Em geodésia e cartografia, é usado o conceito de achatamento (para se referir ao elipsoide de referência), definido por f = \frac{(a - b)}{a}. Como este valor é sempre muito pequeno, ele costuma ser apresentado por seu inverso. Por exemplo, o achatamento do WGS 1984 é \frac {1} {298.257 223 563}.

Características[editar | editar código-fonte]

Utilizando as marcações indicadas na elipse da Fig. 2, temos:

\overline{AB} = 2a = \textrm{Eixo\,\,Maior,} \overline{CD} = 2b = \textrm{Eixo\,\,Menor,}  :\overline{F_1F_2} = 2c = \textrm{Distancia\,\,Focal.}
\overline{AB} representa o seguimento de reta que liga o ponto A ao ponto B na Fig. 2, descrição análoga aplica-se aos seguimentos \overline{CD} e \overline{F_1F_2}.

O centro da elipse é ponto O = (0,0), onde há o cruzamento dos eixos da Fig. 2 (o ponto O não está indicado). Os focos da elipse encontram-se nos pontos:

F_1 = (-c,0) \textrm{\,\,e\,\,} F_2 = (c,0).

Temos, pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo COF_2 (ou ao COF_1, ou ainda ao DOF_2), que:

a^2 = b^2 + c^2

Este resultado decorre da definição da elipse: a soma das distâncias de qualquer ponto P sobre a elipse até os focos é sempre 2a (ver animação na Fig. 3). Em símbolos:

\overline{PF_2} + \overline{PF_1} = 2a

Então, utilizando seguimentos de retas iguais, temos:

\overline{CF_1} + \overline{CF_2} = 2a \Rightarrow \overline{CF_1} = a \,\, \textrm{ou} \,\,
\overline{DF_1} + \overline{DF_2} = 2a \Rightarrow \overline{DF_1} = a

o símbolo matemático "\Rightarrow" significa "implica".

Área[editar | editar código-fonte]

A área de uma elipse com semieixo maior a e semieixo menor b é igual a \pi ab (semieixo significa metade do eixo). Se a excentricidade da elipse é nula, os semieixos são iguais (a = b = r), ficamos então com um círculo de raio r. Neste caso, a fórmula da área resulta na expressão mais conhecida para a área de um círculo: \pi ab = \pi r r = \pi r^2.

Propriedade refletora[editar | editar código-fonte]

As linhas FM e F'M formam ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto M.

A elipse tem a propriedade de que a bissectriz do ângulo formado pelos dois focos e por um ponto qualquer da elipse (como vértice) é perpendicular à tangente à elipse nesse ponto.

Como consequência, qualquer raio luminoso ou onda sonora, que parta de um dos focos, será reflectido pela elipse na direcção do outro foco.

Particularidades[editar | editar código-fonte]

Segundo esta propriedade, numa mesa de bilhar elíptica, qualquer choque entre duas bolas, acontecido num foco, será refletido e fará bater em uma terceira bola estacionada no outro foco.

Num plano de três dimensões, esse é o princípio da sala de sussurro que existe em museus e exposições: duas pessoas estacionadas nos focos de um elipsoide podem conversar entre si em voz baixa e mesmo assim serem ouvidas por uma pessoa estacionada no outro foco. No Capitólio dos Estados Unidos há uma sala elíptica onde a propriedade refletora da elipse teria sido usada pelo presidente John Quincy Adams para escutar conversas que decorriam do outro lado da sala.

Outro fato curioso sobre as elipses é que, trabalhando com sua excentricidade (e = \frac{c}{a}), podemos obter tanto circunferências (casos de excentricidade nula e, portanto, com distância focal igual a zero) quanto segmentos de reta (casos de excentricidade igual a 1, ou seja, a distância focal coincide com o tamanho do eixo maior).

O acompanhamento por telescópio do reflexo da intensa luminosidade de uma supernova nos gases e poeira que se encontram sobre o elipsoide, cujos focos são a supernova e a Terra, tem permitido compreender melhor a estrutura do meio interestelar.[1]

Primeira lei de Kepler[editar | editar código-fonte]

A primeira lei de Kepler afirma que a órbita dos planetas em redor do Sol é elíptica, estando o Sol num dos focos. Dos seis elementos orbitais necessários para descrever completamente a órbita do planeta dois são os parâmetros que definem a elipse.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
  • Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
  • Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
  • Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
  • Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
  • Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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