Elipse

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Uma elipse é a intersecção de uma superfície cônica com um plano que a corta numa curva fechada.

Em geometria, uma elipse é um tipo de secção cônica: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intercete as duas folhas do cone, a intersecção entre o cone e o plano é uma elipse. Para uma prova elementar disto, veja esferas de Dandelin.

Em alguns contextos, pode-se considerar o círculo e o segmento de reta como casos especiais de elipses; no caso do círculo, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.

A elipse tem dois focos, que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de reta. A elipse é também a intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.

As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respetivamente, de semi-eixo maior (a) e semi-eixo menor (b).

Equações[editar | editar código-fonte]

Uma elipse e algumas de suas propriedades. c = a.e

Coordenadas Cartesianas[editar | editar código-fonte]

Algebricamente, uma elipse é a curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0

tal que B^2 < 4 AC, onde todos os coeficiente são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na elipse, existe. O caso A = C, A \ne 0, B = 0 corresponde ao círculo. Quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados, a equação anterior torna a forma mais simples:

\left(\frac{x-h}{a}\right)^2 +\left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1,

onde (h,k) é o centro da elipse, e a e b são os semi-eixos da elipse.

Outras equações úteis:

1) Centro na Origem:

a) Eixo maior paralelo ao eixo x: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

b) Eixo maior paralelo ao eixo y: \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1

2) Centro como um vértice, geralmente apresentado como C(h,k):

a) Eixo maior paralelo ao eixo x: \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

b) Eixo maior paralelo ao eixo y: \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1

Coordenadas polares[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas polares, existem duas formas principais de se descrever a elipse:

a) Com origem no centro da elipse: r = \frac{ab}{\sqrt{a^2\mathrm{sen}\,^2\theta+b^2\cos^2\theta}}

b) Com origem em um dos focos: r = \frac {a (1 - e^2)} {1 + e \cos \theta}, sendo e a excentricidade.

Essa forma é muito conveniente para aplicações em mecânica celeste, neste caso o ângulo \theta é chamado de anomalia verdadeira e é representado pela letra grega \nu (nu ou ni)

Coordenadas paramétricas[editar | editar código-fonte]

\left\{
\begin{matrix}
x & = & h + a\cos t \\ y & = & k + b\mathrm{sen}\, t
\end{matrix}
\right.

A elipse como lugar geométrico[editar | editar código-fonte]

A elipse pode ser construída usando-se dois pregos, um barbante e um lápis.

A elipse é o conjunto dos pontos P do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é constante. O teorema de Dandelin mostra que esta caracterização da elipse é equivalente à definição como secção cónica.

Ou seja, se dist(F1, F2) = 2c, então a elipse é o conjunto dos pontos P tais que dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a em que a\ge c (no caso especial do círculo, os pontos F1 e F2 coincidem então c = 0 e a = r , com r sendo o raio do círculo).

A excentricidade da elipse é definida por e = \frac{c}{a}.

Tem-se 0\le e<1 (de novo, e = 0 apenas no caso da circunferência, o caso e = 1 corresponderia ao segmento de reta, mas normalmente e = 1 corresponde a uma parábola). Se a for o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor da elipse, então pelo teorema de Pitágoras vem

e =\frac{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}{a}

Em geodésia e cartografia, é usado o conceito de achatamento (para se referir ao elipsoide de referência), definido por f = (a - b)/a. Como este valor é sempre muito pequeno, ele costuma ser apresentado por seu inverso. Por exemplo, o achatamento do WGS 1984 é \frac {1} {298.257 223 563}.

Características[editar | editar código-fonte]

Sendo:

A1A2 = 2a = eixo maior; B1B2 = 2b = eixo menor; F1F2 = 2c = distância focal.

E colocando os focos nos pontos:

F1(-c,0); F2(c,0).

Temos, pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo B2CF2, que:

a^2 = b^2 + c^2

De acordo com a definição, a distância de qualquer ponto para os focos é sempre 2a, ou seja:

d(PF1) + d(PF2) = 2a


Área[editar | editar código-fonte]

A área interior de uma elipse é dada por \pi ab, onde a representa o semieixo (metade do eixo) maior, e b corresponde ao semieixo menor.

Propriedade refletora da elipse[editar | editar código-fonte]

As linhas FM e F'M formam ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto M.

A elipse tem a propriedade de que a bissectriz do ângulo formado pelos dois focos e por um ponto qualquer da elipse (como vértice) é perpendicular à tangente à elipse nesse ponto.

Como consequência, qualquer raio luminoso ou onda sonora, que parta de um dos focos, será reflectido pela elipse na direcção do outro foco.

Particularidades[editar | editar código-fonte]

Segundo esta propriedade, numa mesa de bilhar elíptica, qualquer choque entre duas bolas, acontecido num foco, será refletido e fará bater em uma terceira bola estacionada no outro foco.

Num plano de três dimensões, esse é o princípio da sala de sussurro que existe em museus e exposições: duas pessoas estacionadas nos focos de um elipsoide podem conversar entre si em voz baixa e mesmo assim serem ouvidas por uma pessoa estacionada no outro foco. No Capitólio dos Estados Unidos há uma sala elíptica onde a propriedade refletora da elipse teria sido usada pelo presidente John Quincy Adams para escutar conversas que decorriam do outro lado da sala.

Outro fato curioso sobre as elipses é que, trabalhando com sua excentricidade (e=c/a), podemos obter tanto circunferências (casos de excentricidade nula e, portanto, com distância focal igual a zero) quanto segmentos de reta (casos de excentricidade igual a 1, ou seja, a distância focal coincide com o tamanho do eixo maior).

O acompanhamento por telescópio do reflexo da intensa luminosidade de uma supernova nos gases e poeira que se encontram sobre o elipsoide, cujos focos são a supernova e a Terra, tem permitido compreender melhor a estrutura do meio interestelar.[1]

Primeira lei de Kepler[editar | editar código-fonte]

A primeira lei de Kepler afirma que a órbita dos planetas em redor do Sol é elíptica, estando o Sol num dos focos. Dos seis elementos orbitais necessários para descrever completamente a órbita do planeta dois são os parâmetros que definem a elipse.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
  • Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
  • Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
  • Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
  • Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
  • Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]