Comprimento do arco

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A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.

Definição precisa[editar | editar código-fonte]

Arclength.svg

Escolher um finito número de pontos ao longo de uma curva e conectar cada um destes pontos com o próximo com uma linha reta. A soma do comprimento de cada um destes segmentos é o comprimento de um caminho polinomial.

Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos.

Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.

Métodos modernos[editar | editar código-fonte]

Considere uma função f(x) \, tal que f(x) \, e f'(x) \, (isto é a derivada em relação a x) são contínuas em [ab] . O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula:

s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, dx.

a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.

Se a curva é definida parametricamente por x=X(t)\, e y=Y(t)\,, então o comprimento do arco entre t = a e t = b é[1]

s = \int_{a}^{b} \sqrt { [X'(t)]^2 + [Y'(t)]^2 }\, dt.

Deve-se notar que a definição acima só pode ser considerada rigorosa caso se prove que duas parametrizações distintas geram o mesmo comprimento de arco.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Carmo (2010), p. 7.

Referências[editar | editar código-fonte]