Série harmónica (matemática)

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Em matemática, a série harmónica é a série infinita definida como:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} =
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +
\cdots

O nome harmónica é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmônica (música)).

Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme[1] ) faz-se tendo em conta que a série

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \! =
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots

é termo a termo maior que ou igual à série

\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right]
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots
 = \quad\ 1 +\ \frac{1}{2}\  +\  \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots

que claramente diverge.

Curiosidades[editar | editar código-fonte]

O fato da série harmônica ser divergente é notável e jamais seria descoberto por meios experimentais (somar um número considerável de partes e observar a tendência). Foi umas das primeiras séries a se descobrir em que o termo geral pode tender a zero sem que a série seja convergente. Isso ocorreu por volta do século XIV e a descoberta foi feita por Oresme. Se fôssemos capazes de somar cada termo da série em um segundo, como um ano tem aproximadamente 31.557.600 segundos, nesse período de tempo teríamos somado os 31.557.600 primeiros termos, obtendo como resultado um valor um pouco superior a 17; em 10 anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos a pouco mais de 22. Como se vê, esses números são muito pequenos para indicar que a soma é divergente (tende a infinito). Mas não paremos por aqui. Suponha que exista um computador que pode fazer uma soma em 10−23 segundos, que é o tempo gasto pela luz para percorrer a distância igual ao diâmetro de um elétron. Tal computador seria o mais rápido do universo, pois a velocidade da luz é a máxima neste. Se tal computador fosse somar todas as partes que pudesse da série harmônica em um ano, teria somado 315.576x1025 termos; em mil anos 315.576x1028; e em um bilhão de anos 315.576x1034 termos! Os resultados aproximados que obteríamos, em cada um dos casos, respectivamente seria: 70,804 ; 77,712 e 91,527. Imagine agora que esse computador estivesse ligado desde a origem do universo, há cerca de 15 bilhões de anos. Ele estaria hoje obtendo o valor aproximado de 94,235 para a soma da série harmônica. Vamos além! O número 1080 é maior que todos os valores anteriores, superando até a quantidade de átomos do universo conhecido. Pois bem, para essa quantidade de termos a soma de todos eles é aproximadamente: 184,784 e permanece nesse mesmo valor aumentando-se drasticamente a quantidade de termos, como 1080 + 109 ou 1080 + 1012. Veja que a cada passo estamos aumentando enormemente a quantidade de termos, no entanto, a soma Sn permanece a mesma. Em vista disso nada mais natural do que concluir que a série seja convergente. Mas, como sabemos, isso é falso. Vemos então que jamais descobriríamos a divergência da série harmônica por meios puramente experimentais. Como se chega então aos números 94,235 ou 184,784, se, para obtê-los, o idealizado computador mais rápido do universo deveria ficar ligado durante 15 bilhões de anos? Sim, essa é uma pergunta interessante e muito pertinente. Realmente, nenhum computador consegue fazer a soma Sn dos termos da série diretamente para valores muito grandes. Mas é possível substituir essa soma por uma expressão matemática que aproxime Sn e que possa ser calculada numericamente; e os matemáticos sabem disso desde os tempos de Euler, há mais de 250 anos! Isso mostra ainda que devemos ter cuidado no uso do computador. Não podemos subestima-lo. Ele não substitui a capacidade inventiva da mente humana, que só ela é capaz de intuir e criar uma demostração como nenhuma máquina pode fazer.

Soma dos primos recíprocos[editar | editar código-fonte]

Um resultado refinado prova que a série dos inversos dos primos diverge para infinito:

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{p_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+ ... =\infty\,

Série harmônica alternada[editar | editar código-fonte]

A série harmónica alternada é definida conforme:

\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.

Esta série é convergente como consequência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural.

Se se definir o n-ésimo número harmónico tal que

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}

então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral

\int_1^n {1 \over x}\, dx

cujo valor é ln(n).

Mais precisamente, se considerarmos o limite:

 \lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma

onde γ é a constante de Euler-Mascheroni, pode ser provado que:

  1. O único Hn inteiro é H1.
  2. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro.

Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hipótese de Riemann é equivalente a dizer:

\sigma(n)\le H_n + \ln(H_n)e^{H_n} \qquad \mbox{ para qualquer }n\in\mathbb{N}

em que σ(n) é a soma dos divisores positivos de n. (Ver An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), páginas 534-543.)

A série harmónica generalizada, ou série-p, é (qualquer uma) das séries

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}

para p um número real positivo. A série é convergente se p > 1 e divergente caso contrário. Quando p = 1, a série é harmónica. Se p > 1 então a soma das série é ζ(p), i.e., a função zeta de Riemann em ordem a p.

Este raciocínio pode-se estender ao teste de convergência das séries.

Série divergente[editar | editar código-fonte]

Existem definições da soma de séries divergentes que geram resultados importantes. Por exemplo, é possível justificar (sob um conceito generalizado de soma de uma série) que 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2 ou 1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1/4, e até mesmo somas paradoxais como 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 ou 1 + 4 + 9 + 16 + ... = 0. No entanto, mesmo usando-se estes conceitos, a soma da série harmónica continua sendo infinita - o que é coerente com o valor da função zeta de Riemann no ponto z = 1.

Referências

Ver também[editar | editar código-fonte]