Quadrado perfeito

Quadrado perfeito em matemática, sobretudo na aritmética e na teoria dos números, é um número inteiro não negativo que pode ser expresso como o quadrado de um outro número inteiro. Ex: 1, 4, 9...

Exemplos

• 0 = 0²
• 1 = 1²
• 4 = 2²
• 9 = 3²
• 16 = 4²
• 25 = 5²
• 36 = 6²
• 49 = 7²
• 64 = 8²
• 81 = 9²
• 100 = 10²
• 121 = 11²

Relação de recorrência

Se denotarmos por Q_n o enésimo quadrado perfeito, temos, portanto Q_n = n²,n = 1,2,3,.... Pode-se, por completeza, definir Q₀ = 0. Observe que Q_{n + 1} − Q_n = (n + 1)² − n² = 2n + 1 o que permite estabelecer a relação de recorrência Q_{n + 1} = Q_n + 2n + 1.

Números quadrados

Q1	= 1	= 12
Q2	= Q1 + 3 = 1 + 3	= 22
Q3	= Q2 + 5 = 1 + 3 + 5	= 32
Q4	= Q3 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7	= 42
Q5	= Q4 + 9 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9	= 52
.	.	.
.	.	.
.	.	.
Qn	= Qn − 1 + (2n − 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)	= n2

Dito de outra forma: a soma dos primeiros n números ímpares é igual a n², o que também já não era novidade na antiga Grécia: Q_n = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1).

Relação com números triangulares

Tomemos a sequência dos n primeiros números ímpares 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n − 1) e retiremos uma unidade de cada um, 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + ... + (2n − 2), reservando os n elementos retirados. Como todos os termos da sequência obtida são números pares, 2(1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n − 1)), temos representado dois triângulos de ordem (n − 1).

Combinando os dois triângulos T_{n − 1} com os n elementos guardados obtemos, por fim, o quadrado Q_n: 2.T_{n − 1} + n = [(n − 1).n] + n = n² − n + n = n².

$\Rightarrow$ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

$\Rightarrow$ 211.T₇ + 8 = 64

• Teorema (Nicômaco, sec. I) $\Rightarrow$T_n + T_{n + 1} = Q_{n + 1}

• Teorema (Plutarco, sec I) $\Rightarrow$ Se T fôr um número triangular, então 8.T + 1 é um número quadrado.

A demonstração consiste apenas em combinar 8 triângulos iguais, de forma conveniente:

8.T_n = 4(2.T_n) = 4[n.(n + 1)]. Mas 4[n(n + 1)] = 4.n² + 4.n, que representa 4 quadrados mais 4 colunas.

Combinando 4 quadrados com 4 colunas e mais uma unidade, temos 4.n² + 4.n + 1 = (2.n + 1).2, isto é, 8.154T_n + 1 = Q_{2n + 1}.

$\Rightarrow$ 8.T_n + 1 = Q_{2n + 1} = Tn − 1 + 6.T_n + T_{n + 1} !!!

Quadrados de números racionais

Uma pergunta que pode ser formulada é a seguinte: seja N um número inteiro que não é o quadrado perfeito de outro número inteiro. Será que existe um número racional $\frac {p} {q}\,$ tal que $\left(\frac {p} {q}\right)^2 = N\,$?

Para $N = 2\,$, a resposta é negativa, ou seja, a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Supõe-se que descoberta da irracionalidade de $\sqrt 2\,$ foi feita por um matemático grego discípulo de Pitágoras.

Uma prova genérica pode ser feita para os demais números, usando, por exemplo, o critério de Eisenstein de irreducibilidade de polinômios.

Curiosidade

Parece ter sido Arquimedes quem inventou uma divisão do quadrado em 14 partes, que esteve na origem do célebre jogo chinês Tangram, em que se procura construir diversas figuras, a partir de 7 partes de um quadrado.

Referências

• GUNDLACH, Bernard H. (1992). Números e numerais: Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo. Editora Atual. ISBN 8570564589.

Ver também

• Número quadrado
• Quadrado (aritmética)