Número quadrado

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Foi proposta a fusão deste artigo ou se(c)ção com Quadrado perfeito. Pode-se discutir o procedimento aqui. (desde janeiro de 2012)
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Foi proposta a fusão deste artigo ou se(c)ção com Quadrado (aritmética). Pode-se discutir o procedimento aqui. (desde janeiro de 2012)

Número quadrado, em matemática, é um inteiro que pode ser escrito como o quadrado de outro número inteiro. Ou ainda se a raiz quadrada de um número inteiro for outro inteiro, o primeiro é um número quadrado.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Os primeiros 50 números quadrados são:

02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401

Faculdades[editar | editar código-fonte]

A partir do número 1 todos os números quadrados resultam duma sucessão matemática.

12 = 1
22 = 1+3=4
32 = 4+5=9
42 = 9+7=16
52 = 16+9=25
62 = 25+11=36
72 = 36+13=49
82 = 49+15=64
92 = 64+17=81
102 = 81+19=100

E assim por diante. O 2º somando deve-se a inicialmente começar como n=1, a seguir n+2=3, n+4=5, n+6=7, e assim por diante; Como visto todos os 2º somandos são números ímpares pelo que se torna muito fácil calcular números quadrados fazendo apenas somas, desde que se pegue numa parte já calculada da sucessão. O 1º somando é sempre o número quadrado anterior. O 2º somando resulta da sucessão n=1, n1=n+2, n2=n1+2, n3=n2+2, assim por diante.

Todos os números quadrados são quadrados devido a serem um valor inteiro possível da àrea de um quadrado sempre que a raíz quadrada do valor da àrea do quadrado for um número inteiro, sendo o valor do resultado da raíz quadrada o valor de qualquer um dos lados do quadrado.

Além do mais ,a soma de 2 naturais consecuivos sempre resulta na diferença entre o quadrado dos dois.

1+2=4-1
2+3=9-4
3+4=16-9

Assim, pode-se criar uma generalização da forma :

(n)+(n+1)=(n+1)²-(n)²
2n+1=n²+2n+1-n²
2n+1=2n+1

e assim está provada a faculdade

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O número m é um número quadrado se e somente se pode ser representado por um quadrado de lado m:

1² = 1 Square number 1.png
2² = 4 Square number 4.png
3² = 9 Square number 9.png
4² = 16 Square number 16.png
5² = 25 Square number 25.png

A fórmula para o enésimo número quadrado é n2, que é igual a soma dos primeiros n números ímpares (n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1)); assim um quadrado (ver figuras acima) resulta do anterior mais um número ímpar de pontos. Por exemplo, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Lagrange provou que todo inteiro positivo é a soma de quatro números inteiros elevados ao quadrado.

Números quadrados pares e ímpares[editar | editar código-fonte]

  • Quadrados de números pares são pares: (2n)2 = 4 n².
  • Quadrados de números ímpares são ímpares: (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

Por consequência, raízes quadradas de quadrados pares são pares e raízes quadradas de quadrados ímpares são ímpares.

Outra forma de se provar que raízes quadradas de quadrados ímpares são ímpares: faça de conta que n² seja ímpar; assim,

  • n² - 1 é par, mas
  • n² - 1 também pode ser escrita como (n+1)(n-1) e, portanto,
  • (n+1)(n-1) é par

Para que (n+1)(n-1) seja par, ao menos um dentre (n+1) e (n-1) tem que ser par. Digamos que n seja par; se n for par, tanto (n+1) quanto (n-1) são ímpares e a proposição não é verdadeira; agora, se n for ímpar, ambos (n+1) e (n-1) são pares e assim a proposição é verificada: se n² é ímpar, n também é ímpar.

Relação de recorrência[editar | editar código-fonte]

Se denotarmos por Q_n o enésimo quadrado perfeito, temos, portanto Q_n = n^2,   n=1, 2, 3, . . .. Pode-se, por completeza, definir Q_0 = 0. Observe que Q_{n+1}-Q_n = (n+1)^2-n^2 = 2n+1 o que permite estabelecer a relação de recorrência Q_{n+1} = Q_n+2n+1.

Números quadrados[editar | editar código-fonte]

Q_1  = 1  = 1^2
Q_2  = Q_1 + 3 = 1 + 3  = 2^2
Q_3  = Q_2 + 5 = 1 + 3 + 5  = 3^2
Q_4  = Q_3 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7  = 4^2
Q_5  = Q_4 + 9 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9  = 5^2
 .  .  .
 .  .  .
 .  .  .
Q_n  = Q_{n-1} + (2n - 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)  = n^2

Dito de outra forma: a soma dos primeiros n números ímpares é igual a  n^2, o que também já não era novidade na antiga Grécia: Q_n = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1).

Relação com números triangulares[editar | editar código-fonte]

Tomemos a sequência dos n primeiros números ímpares 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n-1) e retiremos uma unidade de cada um, 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + ... + (2n-2), reservando os n elementos retirados. Como todos os termos da sequência obtida são números pares, 2 ( 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)), temos representado dois triângulos de ordem (n-1).

Combinando os dois triângulos T_{n-1} com os n elementos guardados obtemos, por fim, o quadrado Q_n:  2 . T_{n-1} + n = [(n-1)  .  n] + n = n^2 - n + n = n^2.

 \Rightarrow  1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

 \Rightarrow  211 . T_7 + 8 = 64

  • Teorema (Plutarco, sec I)  \Rightarrow Se T fôr um número triangular, então 8 . T + 1 é um número quadrado.
A demonstração consiste apenas em combinar 8 triângulos iguais, de forma conveniente:
8 . T_n = 4 (2  .  T_n) = 4 [n  .   (n+1)]. Mas 4 [n (n+1)] = 4 . n^2 + 4  .  n, que representa 4 quadrados mais 4 colunas.
Combinando 4 quadrados com 4 colunas e mais uma unidade, temos 4 . n^2 + 4  .  n + 1 = (2  .  n + 1)  .  2, isto é,  8 .154 T_n + 1 = Q_{2n + 1}.

\Rightarrow   8  .  T_n + 1 = Q_{2n + 1} = T{n-1} + 6  .  T_n + T_{n+1} !!!

Quadrados de números racionais[editar | editar código-fonte]

Uma pergunta que pode ser formulada é a seguinte: seja N um número inteiro que não é o quadrado perfeito de outro número inteiro. Será que existe um número racional \frac {p} {q} tal que \left(\frac {p} {q}\right)^2 = N?

Para N = 2, a resposta é negativa, ou seja, a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Supõe-se que descoberta da irracionalidade de \sqrt 2 foi feita por um matemático grego discípulo de Pitágoras.

Uma prova genérica pode ser feita para os demais números, usando, por exemplo, o critério de Eisenstein de irreducibilidade de um polinômio.

Curiosidade[editar | editar código-fonte]

Parece ter sido Arquimedes quem inventou uma divisão do quadrado em 14 partes, que esteve na origem do célebre jogo chinês Tangram, em que se procura construir diversas figuras, a partir de 7 partes de um quadrado.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • GUNDLACH, Bernard H. (1992). Números e numerais: Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo. Editora Atual. ISBN 8570564589.

Ver também[editar | editar código-fonte]