Número quadrado

Número quadrado, em matemática, é um inteiro que pode ser escrito como o quadrado de outro número inteiro. Ou ainda se a raiz quadrada de um número inteiro for outro inteiro, o primeiro é um número quadrado.

Exemplos

Os primeiros 50 números quadrados são:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

Faculdades

A partir do número 1 todos os números quadrados resultam duma sucessão matemática.

1² = 1

2² = 1+3=4

3² = 4+5=9

4² = 9+7=16

5² = 16+9=25

6² = 25+11=36

7² = 36+13=49

8² = 49+15=64

9² = 64+17=81

10² = 81+19=100

E assim por diante. O 2º somando deve-se a inicialmente começar como n=1, a seguir n+2=3, n+4=5, n+6=7, e assim por diante; Como visto todos os 2º somandos são números ímpares pelo que se torna muito fácil calcular números quadrados fazendo apenas somas, desde que se pegue numa parte já calculada da sucessão. O 1º somando é sempre o número quadrado anterior. O 2º somando resulta da sucessão n=1, n1=n+2, n2=n1+2, n3=n2+2, assim por diante.

Todos os números quadrados são quadrados devido a serem um valor inteiro possível da àrea de um quadrado sempre que a raíz quadrada do valor da àrea do quadrado for um número inteiro, sendo o valor do resultado da raíz quadrada o valor de qualquer um dos lados do quadrado.

Além do mais ,a soma de 2 naturais consecuivos sempre resulta na diferença entre o quadrado dos dois.

1+2=4-1
2+3=9-4
3+4=16-9

Assim ,pode-se criar uma generalização da forma :

(n)+(n+1)=(n+1)²-(n)²
2n+1=n²+2n+1-n²
2n+1=2n+1

e assim está provada a faculdade

Propriedades

O número m é um número quadrado se e somente se pode ser representado por um quadrado de lado m:

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25

A fórmula para o enésimo número quadrado é n², que é igual a soma dos primeiros n números ímpares ($n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1)$); assim um quadrado (ver figuras acima) resulta do anterior mais um número ímpar de pontos. Por exemplo, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Lagrange provou que todo inteiro positivo é a soma de quatro números inteiros elevados ao quadrado.

Números quadrados pares e ímpares

• Quadrados de números pares são pares: (2n)² = 4 n².
• Quadrados de números ímpares são ímpares: (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

Por consequência, raízes quadradas de quadrados pares são pares e raízes quadradas de quadrados ímpares são ímpares.

Outra forma de se provar que raízes quadradas de quadrados ímpares são ímpares: faça de conta que n² seja ímpar; assim,

• n² - 1 é par, mas
• n² - 1 também pode ser escrita como (n+1)(n-1) e, portanto,
• (n+1)(n-1) é par

Para que (n+1)(n-1) seja par, ao menos um dentre (n+1) e (n-1) tem que ser par. Digamos que n seja par; se n for par, tanto (n+1) quanto (n-1) são ímpares e a proposição não é verdadeira; agora, se n for ímpar, ambos (n+1) e (n-1) são pares e assim a proposição é verificada: se n² é ímpar, n também é ímpar.

Relação de recorrência

Se denotarmos por $Q_n$ o enésimo quadrado perfeito, temos, portanto $Q_n = n^2, n=1, 2, 3, . . .$. Pode-se, por completeza, definir $Q_0 = 0$. Observe que $Q_{n+1}-Q_n = (n+1)^2-n^2 = 2n+1$ o que permite estabelecer a relação de recorrência $Q_{n+1} = Q_n+2n+1$.

Números quadrados

$Q_1$	$= 1$	$= 1^2$
$Q_2$	$= Q_1 + 3 = 1 + 3$	$= 2^2$
$Q_3$	$= Q_2 + 5 = 1 + 3 + 5$	$= 3^2$
$Q_4$	$= Q_3 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7$	$= 4^2$
$Q_5$	$= Q_4 + 9 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$	$= 5^2$
$.$	$.$	$.$
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$.$	$.$	$.$
$Q_n$	$= Q_{n-1} + (2n - 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)$	$= n^2$

Dito de outra forma: a soma dos primeiros $n$ números ímpares é igual a $n^2$, o que também já não era novidade na antiga Grécia: $Q_n = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)$.

Relação com números triangulares

Tomemos a sequência dos $n$ primeiros números ímpares $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n-1)$ e retiremos uma unidade de cada um, $0 + 2 + 4 + 6 + 8 + ... + (2n-2)$, reservando os $n$ elementos retirados. Como todos os termos da sequência obtida são números pares, $2 ( 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1))$, temos representado dois triângulos de ordem $(n-1)$.

Combinando os dois triângulos $T_{n-1}$ com os $n$ elementos guardados obtemos, por fim, o quadrado $Q_n$: $2 . T_{n-1} + n = [(n-1) . n] + n = n^2 - n + n = n^2$.

$\Rightarrow$ $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$

$\Rightarrow$ $211 . T_7 + 8 = 64$

• Teorema (Nicômaco, sec. I) $\Rightarrow$$T_n + T_{n+1} = Q_{n+1}$

• Teorema (Plutarco, sec I) $\Rightarrow$ Se $T$ fôr um número triangular, então $8 . T + 1$ é um número quadrado.

A demonstração consiste apenas em combinar 8 triângulos iguais, de forma conveniente:

$8 . T_n = 4 (2 . T_n) = 4 [n . (n+1)]$. Mas $4 [n (n+1)] = 4 . n^2 + 4 . n$, que representa 4 quadrados mais 4 colunas.

Combinando 4 quadrados com 4 colunas e mais uma unidade, temos $4 . n^2 + 4 . n + 1 = (2 . n + 1) . 2$, isto é, $8 .154 T_n + 1 = Q_{2n + 1}$.

$\Rightarrow$ $8 . T_n + 1 = Q_{2n + 1} = T{n-1} + 6 . T_n + T_{n+1}$ !!!

Quadrados de números racionais

Uma pergunta que pode ser formulada é a seguinte: seja $N$ um número inteiro que não é o quadrado perfeito de outro número inteiro. Será que existe um número racional $\frac {p} {q}\,$ tal que $\left(\frac {p} {q}\right)^2 = N\,$?

Para $N = 2\,$, a resposta é negativa, ou seja, a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Supõe-se que descoberta da irracionalidade de $\sqrt 2\,$ foi feita por um matemático grego discípulo de Pitágoras.

Uma prova genérica pode ser feita para os demais números, usando, por exemplo, o critério de Eisenstein de irreducibilidade de um polinômio.

Curiosidade

Parece ter sido Arquimedes quem inventou uma divisão do quadrado em 14 partes, que esteve na origem do célebre jogo chinês Tangram, em que se procura construir diversas figuras, a partir de 7 partes de um quadrado.

Referências

• GUNDLACH, Bernard H. (1992). Números e numerais: Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo. Editora Atual. ISBN 8570564589.

Ver também

• Quadrado perfeito
• Quadrado (aritmética)
• Raiz quadrada
• Exponenciação
• Número triangular
• Número hexagonal