Número de Fermat

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Em Matemática, um número de Fermat é um número inteiro positivo que assume a forma:[1]

F_{n} = 2^{2^{n}} + 1

sendo n um número natural.

Pierre de Fermat lançou a conjectura, em uma carta escrita para Marin Mersenne, que esses números eram primos.[1] Mas mais tarde Leonard Euler provou que não era assim; para n = 5 obtinha-se um número composto:[1]

 F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417 \;

Até hoje só são conhecidos cinco números primos de Fermat, e não se sabe se há mais ou não:[1]

F_{0} = 2^{2^{0}} + 1 = 3
F_{1} = 2^{2^{1}} + 1 = 5
F_{2} = 2^{2^{2}} + 1 = 17
F_{3} = 2^{2^{3}} + 1 = 257
F_{4} = 2^{2^{4}} + 1 = 65537

Os números de Fermat de ordem 5 até 32,[2] bem como, números enormes como F_{23288}\, e F_{23471}\, são comprovadamente compostos.

Propriedades dos números de Fermat[editar | editar código-fonte]

  • Um número de Fermat é igual ao produto de todos os anteriores mais 2.[1]

Prova por indução:Vale para F_1, pois F_1=F_0+2(5=3+2).Agora, se ele vale para F_{(n-1)}, então ele vale para F_n:

F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-2} \cdot F_{n-1} + 2 = \left ( F_{n-1}-2 \right ) \cdot F_{n-1} + 2 \,\!
 = \left ( 2^{2^{n-1}}+1-2 \right ) \cdot \left ( 2^{2^{n-1}}+1 \right ) + 2 \,\!
 = \left ( 2^{2^{n-1}}-1 \right ) \cdot \left ( 2^{2^{n-1}}+1 \right ) + 2 \,\!
 = \left ( 2^{2^{n-1}} \right ) ^2 -1 + 2 = 2^{2^{n}} +1 = F_n \,\!

Problemas em aberto[editar | editar código-fonte]

Eis algumas questões em aberto a respeito dos números de Fermat:

  • Serão finitos os números primos de Fermat?[1]
  • Se são finitos, quantos são?
  • Se são infinitos, serão os números compostos de Fermat finitos?
  • Serão todos os números de Fermat inteiros sem fator quadrático?

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d e f g h Chris K. Caldwell, The Prime Glossary, Fermat number[em linha]
  2. The 31st Fermat Number is Composite. No texto, de 2007, é mencionado que o menor número que poderia ser primo é F33

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  • Ribenboim, P., The new book of prime number records 3aed., Springer, Ontário, 1995, ISBN 0-387-94457-5
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