Número de Fermat

Em Matemática, um número de Fermat é um número inteiro positivo que assume a forma:

$F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$

sendo n um número inteiro não-negativo.

Pierre de Fermat lançou a conjectura, em uma carta escrita para Marin Mersenne, que esses números eram primos. Mas mais tarde Leonard Euler provou que não era assim; para n = 5 obtinha-se um número composto:

$F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417 \;$

Até hoje só são conhecidos cinco números primos de Fermat, e não se sabe se há mais ou não:

$F_{0} = 2^{2^{0}} + 1 = 3$

$F_{1} = 2^{2^{1}} + 1 = 5$

$F_{2} = 2^{2^{2}} + 1 = 17$

$F_{3} = 2^{2^{3}} + 1 = 257$

$F_{4} = 2^{2^{4}} + 1 = 65537$

Os números de Fermat de ordem 5 até 32, bem como, números enormes como $F_{23288}\,$ e $F_{23471}\,$ são comprovadamente compostos.

Propriedades dos números de Fermat

• Um número de Fermat é igual ao produto de todos os anteriores mais 2.

Prova por indução:Vale para $F_1$, pois $F_1$=$F_0$+2(5=3+2).Agora, se ele vale para $F_{(n-1)}$, então ele vale para $F_n$:

$F_0 \cdot F_1 \cdot \ldots \cdot F_{n-2} \cdot F_{n-1} + 2 = \left ( F_{n-1}-2 \right ) \cdot F_{n-1} + 2 \,\!$

$= \left ( 2^{2^{n-1}}+1-2 \right ) \cdot \left ( 2^{2^{n-1}}+1 \right ) + 2 \,\!$

$= \left ( 2^{2^{n-1}}-1 \right ) \cdot \left ( 2^{2^{n-1}}+1 \right ) + 2 \,\!$

$= \left ( 2^{2^{n-1}} \right ) ^2 -1 + 2 = 2^{2^{n}} +1 = F_n \,\!$

• Todo número de Fermat composto $F_n = 2^{2^n} + 1\,$ pode ser decomposto em fatores primos na forma $k \ 2^{n+1} + 1\,$, com k inteiro positivo.
• Pode-se provar que dois números de Fermat distintos são primos entre si.
• Se F_n é um número primo, então o polígono regular de F_n lados pode ser construído com régua e compasso.

Problemas em aberto

Eis algumas questões em aberto a respeito dos números de Fermat:

• Serão finitos os números primos de Fermat?
• Se são finitos, quantos são?
• Se são infinitos, serão os números compostos de Fermat finitos?
• Serão todos os números de Fermat inteiros sem fator quadrático?

Ver também

• primo de Mersenne

Ligações externas

• Informações gerais sobre os números de Fermat (em inglês)

• Ribenboim, P., The new book of prime number records 3^aed., Springer, Ontário, 1995, ISBN 0-387-94457-5