Números primos gémeos

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Números primos gémeos na teoria dos números são dois números primos cuja diferença é igual a dois. Os primeiros pares de números primos gémeos são (3, 5),~(5, 7),~(11, 13),~(17, 19),~(29, 31),~(41, 43),~(59, 61),~(71, 73),~(101, 103),~(107, 109),~(137, 139) (sequência A001097 na OEIS). Os maiores números conhecidos com estas características são 3756801695685 \cdot ~2^{666669} \pm 1[1] , descobertos em dezembro de 2011. Existem cerca de mil números primos gémeos abaixo de 100 000 e oito mil abaixo de 1 000 000.[2]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sabe-se que com exceção dos números 2 e 3 todos os números primos gêmeos são da forma p = 6K \pm 1. Daí segue, que todos os pares de primos gêmeos, com exceção do 3 e 5 são da forma (6K - 1, 6K + 1). Além disso, segue que o único inteiro que é parte de 2 pares de primos gêmeos é o 5.

Em 1949 P.A. Clement[3] demonstrou que (p, ~p+2) é um par de números primos gémeos se e somente se 4((p-1)! + 1) \equiv -p \pmod {p(p+2)} [4] .

Infinidade[editar | editar código-fonte]

O problema de saber se existe uma infinidade de números primos gémeos é muito antigo, tendo Euclides conjecturado que sim. Esta conjectura é chamada de conjectura dos primos gémeos e é um dos problemas em aberto da Matemática. Polignac conjecturou, de forma mais geral, que para cada natural k há infinitos pares de primos p e p' tais que p' - p = 2k. O caso k = 1 é a conjectura dos primos gémeos.

Em 17 de Abril de 2013, Yitang Zhang anunciou uma prova de que para algum inteiro N menor que 70 milhões, há infinitos pares de primos cuja diferença é N[5] . Terence Tao, em sequencia, propôs um projeto Polymath com a intenção de melhorar colaborativamente a cota de Zhang[6] . Em abril de 2014, um ano após o anúncio inicial, a melhor cota provada é de 246, no lugar de 70 milhões[7] .

Teorema de Brun[editar | editar código-fonte]

Em 1915, Viggo Brun provou que a soma dos inversos dos primos gémeos é convergente. Esse resultado, chamado teorema de Brun, foi o primeiro uso do crivo de Brun, e ajudou a iniciar o desenvolvimento da teoria dos crivos moderna. Uma versão moderna do argumento de Brun pode ser usado para mostrar que a quantidade de primos gémeos menores que N não ultrapassa C\frac{N}{(\log N)^2} para alguma constante absoluta C>0[8] . Tal resultado é condizente a primeira conjectura de Hardy-Littlewood, que afirma que a quantidade de primos gémeos menores que N deve ser da ordem de c\frac{N}{(\log N)^2} para alguma constante c > 0[9] .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. The Prime Database: 3756801695685 \cdot 2^{666669} - 1.
  2. Single (or isolated or non-twin) primes: Primes p such that neither p-2 nor p+2 is prime. (em inglês) The OEIS. Visitado em 3 denvembro de 2013.
  3. P. A. Clement. (1949). "Congruences for sets of primes". American Mathematical Monthly 56 (1): 23-25. DOI:10.2307/2305816.
  4. Cong Lin, Li Zhipeng (2004-08-02). On Wilson’s Theorem and Polignac Conjecture. Visitado em 2007-12-30.
  5. First proof that infinitely many prime numbers come in pairs: Nateure News & Comment.
  6. Polymath proposal: bounded gaps between primes.
  7. Bounded gaps between primes - Polymath1wiki.
  8. Bateman & Diamond (2004). [S.l.: s.n.]. p. p. 313.
  9. k-Tuple Conjecture.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  1. Sloane, Neil; Plouffe, Simon (1995). The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2.
  2. Bateman, Paul T.; Diamond, Harold G.. In: Paul T.. Analytic Number Theory. [S.l.]: World Scientific, 2004. ISBN 981-256-080-7.

Richard L. Francis, "Isolated Primes", J. Rec. Math., 11 (1978), 17-22.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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