Primo de Mersenne

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Primo de Mersenne é um número de Mersenne (número da forma Mn = 2 n – 1, com "n" número natural) que também é um número primo. Nem todo número de Mersenne é primo: entre os números de Mersenne, com efeito, há aqueles que são primos; porém, além do número um, que é número de Mersenne (M1 = 1), porém não-primo, pois singular, há também números de Mersenne compostos.

  • Assim: M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127, M13 = 8.191, M17 = 131.071, M19 = 524.287... etc. formam a série de mersennes primos.
  • Mas: M0 = 0 (composto, par); M1 = 1 (singular, ímpar); M4 = 15, M6 = 63, M8 = 255, M9 = 511, M10 = 1.023, M11 = 2.047, M12 = 4.095... etc (todos números compostos e ímpares), formam a série de mersennes não-primos (o zero; o um; e os demais, compostos ímpares).

História[editar | editar código-fonte]

Os registros históricos dão conta de que os números primos de Mersenne, como atualmente conhecidos, já eram considerados por Euclides de Alexandria (360 a.C.295 a.C.), o notável matemático platônico, o criador da geometria euclidiana. Euclides, ao estudá-los, achou-lhes conexão com os números perfeitos. O nome atual, entretanto, veio em consequência dos estudos de Marin Mersenne, matemático francês que chegou a compilar uma lista de mersennes primos até o expoente 257. Verificou-se, posteriormente, que a lista era apenas parcialmente correta: em seu trabalho, ele omitiu M61, M89, M107 (que são primos), bem como incluiu impropriamente M67 e M257 (que são compostos). Não se tem informação de como Mersenne obteve essa lista e sua verificação rigorosa só foi levada a efeito mais de dois séculos depois.

Marin Mersenne[editar | editar código-fonte]

Assim como os números de Mersenne, chamam-se assim esses números em honra ao seu mais ilustre estudioso, Marin Mersenne (Oizé, 8 de Setembro de 1588 - Paris, 1 de Setembro de 1648), matemático, teórico musical, padre mínimo, teólogo e filósofo francês. Dos estudos matemáticos, em especial na teoria dos números, notabilizou-o sobretudo a sua contribuição relativa aos chamados primos de Mersenne.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Um resultado elementar sobre os números de Mersenne afirma que se 2^n - 1 é um número primo, então n também é um número primo. Isso porque o polinômio x^{n m} - 1 é divisível pelo polinômio x^n - 1:

x^{n m} - 1 = (x^n - 1) * (x^{n (m - 1)} + x^{n (m - 2)} + ... + x^{2 n} + x^n + 1)\,

e os dois fatores, para x = 2, são números maiores que 1.

Uma das questões em aberto na matemática é se existem finitos ou infinitos primos de Mersenne.

Uma outra propriedade é que sabendo que x^{n} - 1 é divisível pelo polinómio x - 1 podemos admitir que só com x = 2 é que se podem obter números primos em expressões do tipo x^{n} - 1.

Recorde atual[editar | editar código-fonte]

O maior número primo registrado até agora (2014, dezembro, 18, quinta-feira, 08h49min (UTC)) é 2 43.112.609 – 1, um número de Mersenne com quase 13 milhões de algarismos em sua representação decimal, e foi descoberto pelo Great Internet Mersenne Prime Search.[1]

Para se ter ideia da magnitude do primo de Mersenne M46, para representá-lo em base decimal seriam requeridas 3461 páginas com 50 linhas por página e 75 dígitos por linha (12.978.189 dígitos = 3460,8504 páginas x 50 linhas/página x 75 dígitos/linha).

Primos de Mersenne conhecidos[editar | editar código-fonte]

Abaixo acha-se lista dos números primos de Mersenne conhecidos, acompanhados dos descobridores e época. Nota-se que os maiores primos de Mersenne somente por meio de computação assistida por artefatos construídos pelo gênio inventivo humano tem sido possível descobrir. (Para mais detalhes, ver Grupo de Busca dos Números Primos de Mersenne, Great Internet Mersenne Prime SearchGIMPS)

# n Mn Digitos em Mn Data de descobrimento Descobridor
1 2 3 1 Antiguidade Antiguidade
2 3 7 1 Antiguidade Antiguidade
3 5 31 2 Antiguidade Antiguidade
4 7 127 3 aAntiguidade Antiguidade
5 13 8.191 4 1456 anônimo
6 17 131.071 6 1588 Cataldi
7 19 524.287 6 1588 Cataldi
8 31 2.147.483.647 10 1772 Euler
9 61 2.305.843.009.213.693.951 19 1883 Pervushin
10 89 618970019…449.562.111 27 1911 Powers
11 107 162259276…010.288.127 33 1914 Powers
12 127 170141183…884.105.727 39 1876 Lucas
13 521 686479766…115.057.151 157 30 de janeiro de 1952 Robinson
14 607 531137992…031.728.127 183 30 de janeiro de 1952 Robinson
15 1.279 104079321…168.729.087 386 25 de junho de 1952 Robinson
16 2.203 147597991…697.771.007 664 7 de outubro de 1952 Robinson
17 2.281 446087557…132.836.351 687 9 de outubro de 1952 Robinson
18 3.217 259117086…909.315.071 969 8 de setembro de 1957 Riesel
19 4.253 190797007…350.484.991 1.281 3 de novembro de 1961 Hurwitz
20 4.423 285542542…608.580.607 1.332 3 de novembro de 1961 Hurwitz
21 9.689 478220278…225.754.111 2.917 11 de maio de 1963 Gillies
22 9.941 346088282…789.463.551 2.993 16 de maio de 1963 Gillies
23 11.213 281411201…696.392.191 3.376 2 de junho de 1963 Gillies
24 19.937 431542479…968.041.471 6.002 4 de março de 1971 Tuckerman
25 21.701 448679166…511.882.751 6.533 30 de outubro de 1978 Noll e Nickel
26 23.209 402874115…779.264.511 6.987 9 de fevereiro de 1979 Noll
27 44.497 854509824…011.228.671 13.395 8 de abril de 1979 Nelson e Slowinski
28 86.243 536927995…433.438.207 25.962 25 de setembro de 1982 Slowinski
29 110.503 521928313…465.515.007 33.265 25 de setembro de 1988 Colquitt e Welsh
30 132.049 512740276…730.061.311 39.751 20 de setembro de 1983 Slowinski
31 216.091 746093103…815.528.447 65.050 6 de setembro de 1985 Slowinski
32 756.839 174135906…544.677.887 227.832 19 de setembro de 1992 Slowinski e Gage
33 859.433 129498125…500.142.591 258.716 10 de janeiro de 1994 Slowinski e Gage
34 1.257.787 412245773…089.366.527 378.632 3 de setembro de 1996 Slowinski e Gage
35 1.398.269 814717564…451.315.711 420.921 13 de novembro de 1996 GIMPS / Joel Armengaud
36 2.976.221 623340076…729.201.151 895.932 24 de agosto de 1997 GIMPS / Gordon Spence
37 3.021.377 127411683…024.694.271 909.526 27 de janeiro de 1998 GIMPS / Roland Clarkson
38 6.972.593 437075744…924.193.791 2.098.960 1 de junho de 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala
39 13.466.917 924947738…256.259.071 4.053.946 14 de novembro de 2001 GIMPS / Michael Cameron
40 20.996.011 125976895…855.682.047 6.320.430 17 de novembro de 2003 GIMPS / Michael Shafer
41 24.036.583 299410429…733.969.407 7.235.733 15 de maio de 2004 GIMPS / Josh Findley
42* 25.964.951 122164630…577.077.247 7.816.230 18 de fevereiro de 2005 GIMPS / Martin Nowak
43* 30.402.457 315416475…652.943.871 9.152.052 15 de dezembro de 2005 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [1]
44* 32.582.657 124575026…053.967.871 9.808.358 4 de setembro de 2006 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [2]
45* 37.156.667 202254406…308.220.927 11.185.272 6 de setembro de 2008 GIMPS / Hans-Michael Elvenich
46* 42.643.801 169873516…562.314.751 12.837.064 12 de abril de 2009 GIMPS / Odd M. Strindmo
47* 43.112.609 316470269…697.152.511 12.978.189 23 de agosto de 2008 GIMPS / Edson Smith
48* 57.885.161 581887266…724.285.951 17.425.171 25 de janeiro de 2013 GIMPS / Curtis Cooper
(*) A tabela acima não é discretamente exaustiva em todo o intervalo apresentado. Até agora ( quinta-feira, 18 de dezembro de 2014 08h49min (UTC)), do que a tabela contém, sabe-se (por critérios algorítmicos de busca exaustiva) que todos os primeiros mersennes primos de M2 a M13.466.917 já foram identificados e são ali listados. Entretanto, entre os mersennes primos M25.964.951 e M57.884.161 (respectivamente, 42º e 48º mersennes primos, este o mais recente descoberto), não se tem registro oficial de outros mersennes primos — o que não significa poder afirmar-se inequivocamente não os haja: os intervalos são cada vez maiores e as buscas são cada vez mais trabalhosas. Como exemplo histórico, cite-se que o 29.º mersenne primo foi descoberto somente após os 30º e 31º. É digno de nota que após o atual recorde M[46º], em apenas quatorze dias descobriu-se um mersenne primo menor (M[45º], conforme acima citado)...

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

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