Primo de Mersenne

Primo de Mersenne é um número de Mersenne (número da forma M_n = 2 ⁿ – 1, com "n" número natural) que também é um número primo. Nem todo número de Mersenne é primo: entre os números de Mersenne, com efeito, há aqueles que são primos; porém, além do número um, que é número de Mersenne (M₁ = 1), porém não-primo, pois singular, há também números de Mersenne compostos.

• Assim: M₂ = 3, M₃ = 7, M₅ = 31, M₇ = 127, M₁₃ = 8.191, M₁₇ = 131.071, M₁₉ = 524.287... etc. formam a série de mersennes primos.
• Mas: M₀ = 0 (composto, par); M₁ = 1 (singular, ímpar); M₄ = 15, M₆ = 63, M₈ = 255, M₉ = 511, M₁₀ = 1.023, M₁₁ = 2.047, M₁₂ = 4.095... etc (todos números compostos e ímpares), formam a série de mersennes não-primos (o zero; o um; e os demais, compostos ímpares).

História

Os registros históricos dão conta de que os números primos de Mersenne, como atualmente conhecidos, já eram considerados por Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.), o notável matemático platônico, o criador da geometria euclidiana. Euclides, ao estudá-los, achou-lhes conexão com os números perfeitos. O nome atual, entretanto, veio em consequência dos estudos de Marin Mersenne, matemático francês que chegou a compilar uma lista de mersennes primos até o expoente 257. Verificou-se, posteriormente, que a lista era apenas parcialmente correta: em seu trabalho, ele omitiu M₆₁, M₈₉, M₁₀₇ (que são primos), bem como incluiu impropriamente M₆₇ e M₂₅₇ (que são compostos). Não se tem informação de como Mersenne obteve essa lista e sua verificação rigorosa só foi levada a efeito mais de dois séculos depois.

Marin Mersenne

Assim como os números de Mersenne, chamam-se assim esses números em honra ao seu mais ilustre estudioso, Marin Mersenne (Oizé, 8 de Setembro de 1588 - Paris, 1 de Setembro de 1648), matemático, teórico musical, padre mínimo, teólogo e filósofo francês. Dos estudos matemáticos, em especial na teoria dos números, notabilizou-o sobretudo a sua contribuição relativa aos chamados primos de Mersenne.

Propriedades

Um resultado elementar sobre os números de Mersenne afirma que se 2ⁿ − 1 é um número primo, então n também é um número primo. Isso porque o polinômio x^nm − 1 é divisível pelo polinômio xⁿ − 1:

$x^{n m} - 1 = (x^n - 1) * (x^{n (m - 1)} + x^{n (m - 2)} + ... + x^{2 n} + x^n + 1)\,$

e os dois fatores, para x = 2, são números maiores que 1.

Uma das questões em aberto na matemática é se existem finitos ou infinitos primos de Mersenne.

Recorde atual

O maior número primo registrado até agora (2012, fevereiro, 27, segunda-feira, 12h51min (UTC)) é 2 ^43.112.609 – 1, um número de Mesenne com quase 13 milhões de algarismos em sua representação decimal, e foi descoberto pelo Great Internet Mersenne Prime Search.

Para se ter idéia da magnitude, vale dizer, do "tamanho" do primo de Mersenne M₄₆, para representá-lo em base decimal seriam requeridas 3.461 páginas com 50 linhas por página e 75 dígitos por linha (12.978.189 dígitos = 3460,8504 páginas x 50 linhas/página x 75 dígitos/linha).

Primos de Mersenne conhecidos

Abaixo acha-se lista dos números primos de Mersenne conhecidos, acompanhados dos descobridores e época. Nota-se que os maiores primos de Mersenne somente por meio de computação assistida por artefatos construídos pelo gênio inventivo humano tem sido possível descobrir. (Para mais detalhes, ver Grupo de Busca dos Números Primos de Mersenne, Great Internet Mersenne Prime Search – GIMPS)

#	n	Mn	Digitos em Mn	Data de descobrimento	Descobridor
1	2	3	1	antiguidade	antiguidade
2	3	7	1	antiguidade	antiguidade
3	5	31	2	antiguidade	antiguidade
4	7	127	3	antiguidade	antiguidade
5	13	8.191	4	1456	anônimo
6	17	131.071	6	1588	Cataldi
7	19	524.287	6	1588	Cataldi
8	31	2.147.483.647	10	1772	Euler
9	61	2.305.843.009.213.693.951	19	1883	Pervushin
10	89	618970019…449.562.111	27	1911	Powers
11	107	162259276…010.288.127	33	1914	Powers
12	127	170141183…884.105.727	39	1876	Lucas
13	521	686479766…115.057.151	157	30 de janeiro de 1952	Robinson
14	607	531137992…031.728.127	183	30 de janeiro de 1952	Robinson
15	1.279	104079321…168.729.087	386	25 de junho de 1952	Robinson
16	2.203	147597991…697.771.007	664	7 de outubro de 1952	Robinson
17	2.281	446087557…132.836.351	687	9 de outubro de 1952	Robinson
18	3.217	259117086…909.315.071	969	8 de setembro de 1957	Riesel
19	4.253	190797007…350.484.991	1.281	3 de novembro de 1961	Hurwitz
20	4.423	285542542…608.580.607	1.332	3 de novembro de 1961	Hurwitz
21	9.689	478220278…225.754.111	2.917	11 de maio de 1963	Gillies
22	9.941	346088282…789.463.551	2.993	16 de maio de 1963	Gillies
23	11.213	281411201…696.392.191	3.376	2 de junho de 1963	Gillies
24	19.937	431542479…968.041.471	6.002	4 de março de 1971	Tuckerman
25	21.701	448679166…511.882.751	6.533	30 de outubro de 1978	Noll & Nickel
26	23.209	402874115…779.264.511	6.987	9 de fevereiro de 1979	Noll
27	44.497	854509824…011.228.671	13.395	8 de abril de 1979	Nelson & Slowinski
28	86.243	536927995…433.438.207	25.962	25 de setembro de 1982	Slowinski
29	110.503	521928313…465.515.007	33.265	25 de setembro de 1988	Colquitt & Welsh
30	132.049	512740276…730.061.311	39.751	20 de setembro de 1983	Slowinski
31	216.091	746093103…815.528.447	65.050	6 de setembro de 1985	Slowinski
32	756.839	174135906…544.677.887	227.832	19 de setembro de 1992	Slowinski & Gage
33	859.433	129498125…500.142.591	258.716	10 de janeiro de 1994	Slowinski & Gage
34	1.257.787	412245773…089.366.527	378.632	3 de setembro de 1996	Slowinski & Gage
35	1.398.269	814717564…451.315.711	420.921	13 de novembro de 1996	GIMPS / Joel Armengaud
36	2.976.221	623340076…729.201.151	895.932	24 de agosto de 1997	GIMPS / Gordon Spence
37	3.021.377	127411683…024.694.271	909.526	27 de janeiro de 1998	GIMPS / Roland Clarkson
38	6.972.593	437075744…924.193.791	2.098.960	1 de junho de 1999	GIMPS / Nayan Hajratwala
39	13.466.917	924947738…256.259.071	4.053.946	14 de novembro de 2001	GIMPS / Michael Cameron
40*	20.996.011	125976895…855.682.047	6.320.430	17 de novembro de 2003	GIMPS / Michael Shafer
41*	24.036.583	299410429…733.969.407	7.235.733	15 de maio de 2004	GIMPS / Josh Findley
42*	25.964.951	122164630…577.077.247	7.816.230	18 de fevereiro de 2005	GIMPS / Martin Nowak
43*	30.402.457	315416475…652.943.871	9.152.052	15 de dezembro de 2005	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [1]
44*	32.582.657	124575026…053.967.871	9.808.358	4 de setembro de 2006	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [2]
45*	37.156.667	202254406…308.220.927	11.185.272	6 de setembro de 2008	GIMPS / Hans-Michael Elvenich
46*	42.643.801	169873516…562.314.751	12.837.064	12 de abril de 2009	GIMPS / Odd M. Strindmo
47*	43.112.609	316470269…697.152.511	12.978.189	23 de agosto de 2008	GIMPS / Edson Smith

(*) A tabela acima não é discretamente exaustiva em todo o intervalo apresentado. Até agora ( segunda-feira, 27 de fevereiro de 2012 12h51min (UTC)), do que a tabela contém, sabe-se (por critérios algorítmicos de busca exaustiva) que todos os primeiros mersennes primos de M₂ a M_13.466.917 já foram identificados e são ali listados. Entretanto, entre os mersennes primos M_13.466.917 e M_43.112.609 (respectivamente, 39º e 46º mersennes primos, este o mais recente descoberto), não se tem registro oficial de outros mersennes primos — o que não significa poder afirmar-se inequivocamente não os haja: os intervalos são cada vez maiores e as buscas são cada vez mais trabalhosas. Como exemplo histórico, cite-se que o 29º mersenne primo foi descoberto somente após os 30º e 31º. É digno de nota que após o atual recorde M_[46º], em apenas quatorze dias descobriu-se um mersenne primo menor (M_[45º], conforme acima citado)...

Ver também

• Número de Fermat
• Número de Mersenne
• Número primo
• Teoria dos números

Referências

• Paulo Ribenboim. The new Book of Prime Number Records. [S.l.: s.n.].