Representação decimal

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  • Este artigo provê uma definição matemática. Para informações conexas, ver Decimal.

Representação decimal de um número real não-negativo r é uma expressão da forma

 r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}

onde a_0 é um número natural, e a_1,
a_2, \dots são números naturais que satisfazem 0\leq a_i\leq 9;

Isto é frequentemente escrito de modo mais compacto e elegante como segue:

r=a_0.a_1 a_2 a_3\dots.

Significa-se, com esta última forma, que a_0 é a parte inteira de r, não necessariamente entre 0 e 9, e a_1, a_2, a_3,\dots são os dígitos que compõem a parte fracionária (ou "não-inteira") de r.

A aparente exigência de ser o número real "não-negativo" justifica-se: para os números reais negativos, a representação formal é a mesma precisamente, bastando juntar-se-lhe o sinal convencional de número negativo (o sinal "–"). O sinal "–" entende-se, então, como um operador de inversão ou simetria aditiva: o operador capaz de transformar um dado número no seu inverso aditivo (ou simétrico aditivo).

Aproximações decimais finitas[editar | editar código-fonte]

Qualquer número real pode ser aproximado a qualquer desejado ou especificado grau de precisão por meio de números racionais com representações decimais finitas.

Seja x\geq 0. Então, para todo número natural n\geq 1, existe um decimal finito r_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n tal que

r_n\leq x < r_n+\frac{1}{10^n}.\,

Demonstração:

Seja r_n = \textstyle\frac{p}{10^n}, onde p = \lfloor 10^nx\rfloor. Então p \leq 10^nx < p+1, e o resultado surge pela divisão de ambos os lados por 10^n. (O fato de que r_n tem uma representação decimal finita é facilmente estabelecido.)

Representações decimais múltiplas[editar | editar código-fonte]

Alguns números reais têm duas representações decimais infinitas. Por exemplo, o número 1 pode ser corretamente representado por 1,0000000..., bem como por 0,9999999... (com um número infinito de dígitos "9", extensão ao infinito simbolizada por "...", as reticências). Convencionalmente, a primeira versão é preferida e há várias razões práticas para isso: basta omitir a sequência infinita de dígitos "0" após o separador decimal — a vírgula decimal, em cultura lusófona, o ponto decimal, em cultura anglófona — remover o separador decimal, e uma compacta e conveniente forma decimal normalizada é obtida.

Contudo, as outras formas de representação decimal infinitas merecem atenção e não devem ser consideradas inferiores. Isso, todavia, é melhor examinado em artigos específicos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • APOSTOL, Tom. Mathematical analysis. 2. ed.. New York: Addison-Wesley, 1974.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  • Plouffe's inverter descreve um número, dada sua representação decimal. Por exemplo, exibirá 3,14159265... como π.