Fração contínua

Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma $\frac{1}{2}$, bem como $\frac{5}{10}$. A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.

Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma $a_0 + \frac{b_1}{a_1 + \frac{b_2}{a_2 +\frac{b_3}{a_3 +\cdots}}}$, em que o primeiro termo, $a_0$, é um número inteiro e os demais números $a_1, a_2, \ldots, b_1, b_2, \ldots,$ são números inteiros positivos.

Frações Continuadas Simples

Frações continuadas simples são expressões da forma $a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3 + \frac{1}{\ddots}}}}$, em que todos os números $b_j$ são iguais a 1. Uma expressão da forma $a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots + \frac{1}{a_n}}}}$ é uma fração continuada simples finita. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por $[a_0; a_1, a_2, a_3, \ldots]$ e $[a_0; a_1, a_2, \ldots, a_n]$. Observe que o termo $a_0$ é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado.

Exemplos: $\frac{10}{7} = 1+ \frac{3}{7} = 1+ \frac{1}{\frac{7}{3}} = 1+ \frac{1}{2+\frac{1}{3}} = [1; 2, 3]$

$-\frac{18}{5} = -4 + \frac{2}{5} = -4 + \frac{1}{\frac{5}{2}} = -4 + \frac{1}{2+\frac{1}{2}} = [-4; 2, 2]$

Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.

Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao Algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros.

Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número $\frac{344}{77}$ na forma de fração continuada.

Usando-se o algoritmo da divisão, obtém-se $344 = 4 \times 77 + 36$. Logo, $\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77}$.

A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma $\frac{1}{\frac{77}{36}}$. Com isso, obtém-se a expressão $\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77} = 4 + \frac{1}{\frac{77}{36}}$.

A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, $\frac{77}{36} = 2+\frac{5}{36} = 2+\frac{1}{\frac{36}{5}}$.

Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: $\frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77} = 4 + \frac{1}{\frac{77}{36}} = 4 + \frac{1}{2+\frac{1}{\frac{36}{5}}} = 4 + \frac{1}{2+\frac{1}{7+\frac{1}{5}}}$.

Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma $\frac{1}{\frac{5}{1}}$, chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número $\frac{344}{77}$ na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].

É interessante observar que a representação decimal do número $\frac{344}{77}$ é infinita, a saber, a dízima periódica 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita.

É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita.

Portanto, toda fração continuada infinita é uma representação de um número irracional.

Frações Continuadas Simples Infinitas

É conveniente denotar repetições periódicas da forma $[a_0; a_1, a_2, r, s, r, s, \ldots ]$ por $[a_0; a_1, a_2, \overline{r, s} ]$.

Exemplo. Vamos verificar que $[2; 2, 2, 2, \ldots] = [2; \overline{2}\,] = \sqrt{2}+1$. De fato, como $(\sqrt{2}+1)\cdot(\sqrt{2}-1) = 1$, podemos escrever, $\sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Também são verdadeiras as igualdades $\sqrt{2}+1 = \sqrt{2} + (2 - 1) = 2 + (\sqrt{2}-1)$. Pode-se concluir que $\sqrt{2}+1 = 2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}$

A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão:

$\sqrt{2}+1 = 2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1} = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}} = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}}} = \ldots = 2+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}}$

O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe.

É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever: $x = 2+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}} \iff x-2 = \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}} = \frac{1}{x} \iff (x-2)x = 1 \iff x^2 - 2x - 1=0$

Como $x$ é um número positivo, concluímos que $x=1+\sqrt{2}$.

Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas.

Frações Parciais

Se $x = [a_0; a_1, a_2, \ldots]$, chamamos de convergentes ou frações parciais a sequência de números racionais $c_0, c_1, c_2, \ldots$ dados por:

$c_0 = a_0, c_1 = a_0+\frac{1}{a_1}, c_2 = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2}}, \cdots, c_n = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{\cdots +\frac{1}{a_n}}}, \cdots$,

ou seja, $c_0 = [a_0], c_1 = [a_0; a_1], c_2 = [a_0; a_1, a_2], \cdots, c_n = [a_0; a_1, a_2, \cdots, a_n], \cdots$

A existência do limite da sequência das frações parciais $(c_n)_n$ deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas.

Alguns exemplos:

• O número de ouro, dado por $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica: $[1;\overline{1}\,]$.

Os convergentes do número de ouro são $[1] = 1, [1; 1] = 1+ \frac{1}{1} = 2, [1; 1, 1] = 1+ \frac{1}{1+\frac{1}{1}} = \frac{3}{2}, [1; 1, 1, 1] = \frac{5}{3}, [1; 1, 1, 1, 1] = \frac{8}{5}, [1; 1, 1, 1, 1, 1] = \frac{13}{8}, \cdots$ É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro $(\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8},\ldots )$ formam a sequência de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \cdots$

• $\sqrt{3}= [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, \ldots] = [1; \overline{1, 2} ]$

• $\sqrt{7}= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, \ldots] = [2; \overline{1, 1, 1, 4}]$

Contribuições Importantes

Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto.

• Rafael Bombelli (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que

$\sqrt{13} = 3+ \frac{4}{6+\frac{4}{6+\frac{4}{6+\ldots}}}$

• William Brouncker (1620 – 1684) escreveu a expansão

$\frac{4}{\pi} = 1+ \frac{1}{2+\frac{9}{2+\frac{25}{2+\frac{49}{2+\frac{81}{2+ \ldots}}}}}$, que foi uma descoberta muito importante para a história do número $\pi$.

• Leonhard Euler (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que

explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita.

É interessante saber que o número $e$, definido por $e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n$ cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como $e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \cdots]$

• Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número $\pi$ é irracional, usando frações continuadas para calcular $\tan(x)$ da forma

$\tan(x) = \frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{3}{x}-\frac{1}{\frac{5}{x} - \cdots}}}$ Lambert usou essa expressão para concluir que se $x$ é um número racional não nulo, então $\tan(x)$ não pode ser um número racional. Sendo assim, como $\tan(\frac{\pi}{4})=1$, então $\pi$ não pode ser racional.

• Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) demonstrou que as raízes irracionais de equações quadráticas têm expansão na forma de fração continuada periódica.

Exemplos de frações contínuas

Alguns exemplos de frações contínuas:
$\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,2,2,2,\dots]$
$\sqrt{3}=[1;1,2,1,2,1,2,1,2,\dots]$
$\sqrt{5}=[2;4,4,4,4,4, \dots]$
$\sqrt{7}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4, \dots]$
$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8, \dots]$
$\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\dots]$

Referências

• COURANT, R., ROBBINS, H. , O que é matemática: uma abordagem elementar de métodos e conceitos, Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000.
• DUNE, E., MCCONNELL, M. , Pianos and Continued Fractions, Mathematics magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115.
• OLDS, C. D., Continued Fractions, Mathematical Association of America, v. 9, Nova Iorque, 1963.