Fração contínua

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Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma \frac{1}{2}, bem como \frac{5}{10}. A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.

Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma a_0 + \frac{b_1}{a_1 + \frac{b_2}{a_2 +\frac{b_3}{a_3 +\cdots}}}, em que o primeiro termo, a_0, é um número inteiro e os demais números a_1, a_2, \ldots, b_1, b_2, \ldots, são números inteiros positivos.

Frações Continuadas Simples[editar | editar código-fonte]

Frações continuadas simples são expressões da forma a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3 + \frac{1}{\ddots}}}}, em que todos os números b_j são iguais a 1. Uma expressão da forma a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots + \frac{1}{a_n}}}} é uma fração continuada simples finita. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por [a_0; a_1, a_2, a_3, \ldots] e [a_0; a_1, a_2, \ldots, a_n]. Observe que o termo a_0 é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado.

Exemplos: \frac{10}{7} = 1+ \frac{3}{7} = 1+ \frac{1}{\frac{7}{3}} = 1+ \frac{1}{2+\frac{1}{3}} = [1; 2, 3]

-\frac{18}{5} = -4 + \frac{2}{5} = -4 + \frac{1}{\frac{5}{2}} = -4 + \frac{1}{2+\frac{1}{2}} = [-4; 2, 2]

Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.

Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao Algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros.

Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número \frac{344}{77} na forma de fração continuada.

Usando-se o algoritmo da divisão, obtém-se 344 = 4 \times 77 + 36. Logo, \frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77}.

A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma \frac{1}{\frac{77}{36}}. Com isso, obtém-se a expressão \frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77} = 4 + \frac{1}{\frac{77}{36}}.

A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, \frac{77}{36} = 2+\frac{5}{36} = 2+\frac{1}{\frac{36}{5}}.

Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: \frac{344}{77} = 4 + \frac{36}{77} =
4 + \frac{1}{\frac{77}{36}} = 4 + \frac{1}{2+\frac{1}{\frac{36}{5}}} = 
4 + \frac{1}{2+\frac{1}{7+\frac{1}{5}}}.

Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma \frac{1}{\frac{5}{1}}, chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número \frac{344}{77} na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].

É interessante observar que a representação decimal do número \frac{344}{77} é infinita, a saber, a dízima periódica 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita.

É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita.

Portanto, toda fração continuada infinita é uma representação de um número irracional.

Frações Continuadas Simples Infinitas[editar | editar código-fonte]

É conveniente denotar repetições periódicas da forma [a_0; a_1, a_2, r, s, r, s, \ldots ] por [a_0; a_1, a_2, \overline{r, s} ].

Exemplo. Vamos verificar que [2; 2, 2, 2, \ldots] = [2; \overline{2}\,] = \sqrt{2}+1. De fato, como (\sqrt{2}+1)\cdot(\sqrt{2}-1) = 1, podemos escrever, \sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}

Também são verdadeiras as igualdades \sqrt{2}+1 = \sqrt{2} + (2 - 1)  = 2 + (\sqrt{2}-1). Pode-se concluir que \sqrt{2}+1 = 2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}

A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão:

 \sqrt{2}+1 = 2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}
            = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}}
            = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}}} 
            = \ldots 
            = 2+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}}

O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe.

É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever: 
x = 2+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}} \iff
x-2 = \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}} = \frac{1}{x} \iff 
(x-2)x = 1 \iff x^2 - 2x - 1=0

Como x é um número positivo, concluímos que x=1+\sqrt{2}.

Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas.

Frações Parciais[editar | editar código-fonte]

Se x = [a_0; a_1, a_2, \ldots], chamamos de convergentes ou frações parciais a sequência de números racionais c_0, c_1, c_2, \ldots dados por:

c_0 = a_0, 

c_1 = a_0+\frac{1}{a_1}, 

c_2 = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2}}, \cdots, 

c_n = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{\cdots +\frac{1}{a_n}}}, \cdots ,

ou seja, c_0 = [a_0], c_1 = [a_0; a_1], c_2 = [a_0; a_1, a_2], \cdots, 
c_n = [a_0; a_1, a_2, \cdots, a_n], \cdots

A existência do limite da sequência das frações parciais (c_n)_n deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas.

Alguns exemplos:

  • O número de ouro, dado por  \frac{1+\sqrt{5}}{2} pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica:  [1;\overline{1}\,].

Os convergentes do número de ouro são [1] = 1, [1; 1] = 1+ \frac{1}{1} = 2, [1; 1, 1] = 1+ \frac{1}{1+\frac{1}{1}} = 
\frac{3}{2}, [1; 1, 1, 1] = \frac{5}{3}, [1; 1, 1, 1, 1] = \frac{8}{5}, [1; 1, 1, 1, 1, 1] = \frac{13}{8}, \cdots É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro (\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8},\ldots ) formam a sequência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \cdots

  • \sqrt{3}= [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, \ldots] = [1; \overline{1, 2} ]
  • \sqrt{7}= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, \ldots] = [2; \overline{1, 1, 1, 4}]

Contribuições Importantes[editar | editar código-fonte]

Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto.

  • Rafael Bombelli (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que

\sqrt{13} = 3+ \frac{4}{6+\frac{4}{6+\frac{4}{6+\ldots}}}

 \frac{4}{\pi} = 1+ \frac{1}{2+\frac{9}{2+\frac{25}{2+\frac{49}{2+\frac{81}{2+ \ldots}}}}}, que foi uma descoberta muito importante para a história do número \pi.

  • Leonhard Euler (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que

explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita.

É interessante saber que o número e, definido por e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como  e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \cdots]

  • Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número \pi é irracional, usando frações continuadas para calcular \tan(x) da forma

\tan(x) = \frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{3}{x}-\frac{1}{\frac{5}{x} - \cdots}}} Lambert usou essa expressão para concluir que se x é um número racional não nulo, então \tan(x) não pode ser um número racional. Sendo assim, como \tan(\frac{\pi}{4})=1, então \pi não pode ser racional.

Exemplos de frações contínuas[editar | editar código-fonte]

Alguns exemplos de frações contínuas:
\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,2,2,2,\dots]
\sqrt{3}=[1;1,2,1,2,1,2,1,2,\dots]
\sqrt{5}=[2;4,4,4,4,4, \dots]
\sqrt{7}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4, \dots]
e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8, \dots]
\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\dots]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • COURANT, R., ROBBINS, H. , O que é matemática: uma abordagem elementar de métodos e conceitos, Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000.
  • DUNE, E., MCCONNELL, M. , Pianos and Continued Fractions, Mathematics magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115.
  • OLDS, C. D., Continued Fractions, Mathematical Association of America, v. 9, Nova Iorque, 1963.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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