Proporção áurea

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
(Redirecionado de Número de ouro)
Ir para: navegação, pesquisa
Alusão à seção áurea na estação Saldanha do metrô de Lisboa.

Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea, proporção de ouro é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega \phi (PHI), em homenagem ao escultor Phideas (Fídias), que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. Também é chamada de se(c)ção áurea (do latim sectio aurea)[1] , razão áurea,[2] razão de ouro, média e extrema razão (Euclides), divina proporção, divina seção (do latim sectio divina), proporção em extrema razão[3] , divisão de extrema razão ou áurea excelência[4] [5] . O número de ouro é ainda frequentemente chamado razão de Phidias .[6] [7] [8]

Desde a Antiguidade, a proporção áurea é usada na arte.[9] É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não confundir com o número Pi \pi), como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado na proporção dos seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo) e nas colmeias, entre inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento.

Justamente por estar envolvido no crescimento, este número se torna tão frequente. E justamente por haver essa frequência, o número de ouro ganhou um status de "quase mágico", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. Apesar desse status, o número de ouro é apenas o que é devido aos contextos em que está inserido: está envolvido em crescimentos biológicos, por exemplo. O fato de ser encontrado através de desenvolvimento matemático é que o torna fascinante.

Divisão em média e extrema razão. A partir de um segmento de 10 unidades, determina-se a sua seção áurea multiplicando-o por 0,618 (média). Para encontrar-se um segmento maior, em extrema razão, deve-se multiplicar as dez unidades iniciais por 1,618.

Propriedades matemáticas[editar | editar código-fonte]

Definição algébrica[editar | editar código-fonte]

A razão áurea é definida algebricamente como:

 \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi\,.

A equação da direita mostra que a=b\phi, o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:

\frac{b\phi+b}{b\phi}=\frac{b\phi}{b}\,.

Cancelando b em ambos os lados, temos:

\frac{\phi+1}{\phi}=\phi.

Multiplicando ambos os lados por \phi, resulta:

\phi+1=\phi^2.

Finalmente, subtraindo \phi^2 de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por -1, encontramos:

\phi^2 - \phi - 1 = 0, que é uma equação quadrática da forma ax^2 + bx + c = 0, em que a=1,\ b=-1\ \mathrm{e}\ c=-1.

Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:

\phi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\phi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot{1}\cdot{(-1)}}}{2\cdot{1}}

\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}

\phi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398875, que é o número \phi.

Sequência de Fibonacci[editar | editar código-fonte]

Representação da sequência de Fibonacci na Mole Antonelliana em Turim, Itália.
O número áureo está presente na fórmula do termo geral da Série de Fibonacci:
 F(n)= \frac{\phi_+^{n}-\phi_-^{n}}{\phi_+-\phi_-}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]

O número áureo pode ser aproximado pela divisão do n-ésimo termo da Série de Fibonacci pelo termo anterior, sendo a aproximação tanto melhor quanto maior for n. Por exemplo:

 \frac{2}{1}= 2;  \frac{3}{2}= 1,5;  \frac{8}{5}= 1,6;  \frac{13}{8}= 1,625;  \frac{89}{55}= 1,61818...\ ;  \frac{6765}{4181}= 1,6180339...

Série de frações[editar | editar código-fonte]

O número áureo também pode ser encontrado através de frações contínuas, normalmente representadas como [a,b,c,d,e,...], o que resulta em:[10]

 a + \frac{1}{ b + \frac{1}{ c + \frac{1}{d + \frac{1}{e} } } }

A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste.

 [1;1] = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2.
 [1;1,1] = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1} } = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5.
 [1;1,1,1] = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1} }} = 1 + \frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} = 1,666.
 [1;1,1,1,1] = 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1} } } } = 1 + \frac{1}{\frac{5}{3}} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5} = 1,6.

Um número irracional sempre pode ser aproximado por números racionais, e os convergentes da representação em fração contínua são as melhores aproximações. A aproximação é tão melhor quando se corta a expansão em um coeficiente grande; por exemplo, uma boa aproximação de π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, ...] é obtida ao se tomar π ~= [3; 7, 15, 1] = 3.141592920.... Como todos os coeficientes da fração contínua de φ são um, todas suas aproximações por racionais são ruins - de fato, φ é o pior número para ser aproximado por racionais.[10]

Série de raízes[editar | editar código-fonte]

 \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}

Proporção áurea na natureza[editar | editar código-fonte]

Figuras geométricas[editar | editar código-fonte]

Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em proporção áurea com o raio da circunferência.

Segmentos do pentagrama estão na proporção áurea, como mostra a figura. O pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea.

Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual a quarta potência da razão áurea.

Chamando os vértices de um pentagrama de A, B, C, D e E, o triângulo isósceles formado por A, C e D tem seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B e C tem sua base em relação dourada com os lados.

Quando Pitágoras descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea, tornou esse símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Esse era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que "tudo é número", ou seja, que a natureza segue padrões matemáticos.

Vegetais[editar | editar código-fonte]

Como os vegetais não têm formas exatas, a ponto de serem construídos com régua e compasso, a divina proporção, bem como a série Fibonacci, só podem ser encontradas por aproximação.[11] [12]

Animais[editar | editar código-fonte]

Nos animais, as medidas também são aproximadas.[11] [12]

  • População de abelhas – A proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colmeia.
  • Concha do caramujo Nautilus – A proporção em que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo. Este molusco bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras para poder regular a profundidade de sua flutuação. Obs.: até hoje não se encontrou nenhum caramujo Nautilus que comprove essa afirmação amplamente difundida.
  • Outros – phi estão também nas escamas de peixes, presas de elefantes, crescimento de plantas.

Corpo humano[editar | editar código-fonte]

O Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci. As ideias de proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana.
Proporções áureas em uma mão.
  • A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.
  • A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.
  • A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.
  • A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.
  • O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.
  • A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.

Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo "Homem Vitruviano", obra de Leonardo Da Vinci.

  • Dimensão do útero em mulheres jovens (16 e 20 anos), segundo o pesquisador Jasper Vergtus, da Universidade de Leuven.[13]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

O homem sempre tentou alcançar a perfeição: nas pinturas, nos projetos arquitetônicos e até mesmo na música.

Arte[editar | editar código-fonte]

As linhas vermelhas representam os eixos vertical e horizontal. As linhas brancas são divisões áureas. Os olhos e a boca estão posicionados nessa estrutura geométrica.[14]

A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Essa proporção estaria ali aplicada pelo motivo de o autor representar a perfeição da beleza.

Em O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na história da arte renascentista, a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nessa constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção lhes dava para retratar a realidade com mais perfeição.

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face, mas isso é uma característica inerente ao ser humano e tais proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a anatomia tenha sido respeitada.[15] Medições feitas por computador mostraram que os olhos de Mona Lisa estão situados em subdivisões áureas da tela.[14]

Retângulo dourado[editar | editar código-fonte]

Proporção áurea em retângulos.

Em geometria, o retângulo de ouro surge do processo de divisão em média e extrema razão, de Euclides. Ele é assim chamado porque ao dividir-se a base desse retângulo pela sua altura, obtêm-se o número de ouro 1,618.[16]

Música[editar | editar código-fonte]

O número de ouro está presente em diversas obras de compositores clássicos, sendo o exemplo mais notável a famosa sinfonia n.º 5, de Ludwig van Beethoven[17] . O compositor húngaro Béla Bartók também se utilizou desta relação de proporcionalidade constantemente em sua obra[18] , assim como o fez o francês Claude Debussy em diversas de suas sonatas[19] .

No jazz há músicos que usam os números da série Fibonacci na divisão rítmica e dos compassos (Golden Mean).[20]

Literatura[editar | editar código-fonte]

No livro "O Número de Ouro", Matila Ghyka demonstrou a existência da proporção áurea em textos escritos por Victor Hugo, Shakespeare, Paul Valéry, Pierre Louys, entre outros. Na pesquisa Ghyka relacionou as estrofes de acordo com o ritmo da leitura, o que ele chamou de ritmo prosódico.[21]

Cinema[editar | editar código-fonte]

O diretor russo Sergei Eisenstein se utilizou do número \phi no filme O Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película.

Referências

  1. Summerson John, Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. "E o mesmo se aplica em arquitetura, aos retângulos que representam estas e outras proporções (e.g. a 'seção áurea')."
  2. Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books, 2002. ISBN 0-7679-0815-5.
  3. Euclid, Elements, Book 6, Definition 3.
  4. Piotr Sadowski, The Knight on His Quest: Symbolic Patterns of Transition in Sir Gawain and the Green Knight, Cranbury NJ: Associated University Presses, 1996
  5. Richard A Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997
  6. Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, New Haven CT: Yale University Press, 1920
  7. William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference, Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003
  8. Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.
  9. György Dóczi. O Poder dos Limites: harmonias e proporções na natureza, arte & arquitetura. [S.l.]: Shambhala, 1981. Capítulo IV.
  10. a b Kiritchenko, Valentina, Continued Fractions, p.12 [em linha]
  11. a b György Dóczi (1981). O Poder dos limites Amazon.com. Visitado em 7 de julho de 2014.
  12. a b Robert Lamb. How are Fibonacci numbers expressed in nature? Howstuffworks.com. Visitado em 7 de julho de 2014.
  13. ABC.es. Él número áureo, descubierto en el útero. Acesso 16 de agosto de 2012.
  14. a b Denis Mandarino (27/08/2011). A divisão áurea por detrás do olhar de Mona Lisa AloArtista.com. Visitado em 31 de junho de 2012.
  15. Ostrower, Fayga. Universos da Arte. [S.l.]: Campus, 1983.
  16. Putnoki, José Carlos - Elementos de Geometria e desenho geométrico. Vol. 1. Ed. Scipione, São Paulo, 1989. p. 140.
  17. Haylock, Derek. Mathematics Teaching, Volume 84, p. 56-57. 1978
  18. Ernö Lendvai - Béla Bartók: An Analysis of his Music
  19. Roy Howat - Debussy in Proportion
  20. Steve Coleman. The Dozens Jazz.com. Visitado em 14 de janeiro de 2014.
  21. Matila Ghyka. El número de oro. [S.l.]: Poseidon, 1984.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Cole, K. C.. O Universo e a Xícara de Chá. São Paulo: Record, 2006. 294p.
  • Doczi, György. O Poder dos limites. São Paulo: Mercuryo, 1990.
  • Livio, Mario. Razão áurea: a história do phi. São Paulo: Record, 2006. 336p.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Commons
O Commons possui imagens e outras mídias sobre Proporção áurea