Teste de primalidade de Miller-Rabin

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O teste Miller-Rabin (por Gary Miller e Michael Rabin) é um teste probabilistico da primitividade de um dado número n. Se um número n não passar pelo teste, n com certeza é um número composto (ou seja, não-primo). Se o número passar no teste, ele é primo, com uma probabilidade P(n \in \mathbb{P}) \geq 0,75, sendo que \mathbb{P} denomina o conjunto de todos números primos.

A margem de erro pode ser diminuida aleatoriamente, aplicando-se o teste várias vezes ao mesmo número n.

O teste é parecido com o o teste Solovay-Strassen, portanto sua margem de erro é bem menor.

A importância desse algoritmo se deve à criptografia assimétrica, onde a necessidade de uma grande quantidade de números primos grandes é vital para a segurança dos algoritmos. Tais números são tão grandes que testes não probabilisticos como o da simples divisão por números primos menores que o número gerado ou o tabelamento de todos os números primos são impraticáveis.

É importante dizer que o teste Miller-Rabin, ou Rabin-Miller como as vezes também é chamado, não dá indícios sobre a fatorização no número n. Devido suas caraterísticas, esse teste é o mais utilizado para o teste da primitividade.

Funcionamento[editar | editar código-fonte]

Seja n um número primo e a um número inteiro escolhido aleatóriamente, tal que 1 < a < p. Seja s = \max\{r \in \mathbb{N} : 2^r divide (n-1)\}. s é o maior expoente, tal que 2^s \mid (n - 1).

Seja d = (n - 1)/2^s. Por definição de s, d é, necessariamente ímpar.

Teorema: Se n é um número primo e a não tiver um divisor em comum com p, então

a^d \equiv 1 \mod n

ou, existe um r \in \{0, 1, \cdots, s - 1\}, tal que

a^{2^rd} \equiv -1 \mod n

Um número a que não satisfaz o teorema acima é denominado de testemunha contra a primalidade de n.