Curva elíptica

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Em matemática, as curvas elípticas se definem mediante equações cúbicas (de terceiro grau). Tem sido usadas para provar o último teorema de Fermat e se empregam também em criptografia (para mais detalhes pode-se ver o artigo sobre criptografia de curvas elípticas) e em fatoração de inteiros. Estas curvas não são elipses: pode ser visto também o verbete sobre integral elíptica para aprender algo sobre a origem do termo.

As curvas elípticas são "regulares", ou pode-se dizer "não-singulares", o que significa que não têm "cúspides" nem auto-intersecções, e se pode definir uma operação binária para o conjunto de seus pontos de uma maneira geométrica natural, o que faz deste conjunto um grupo abeliano.

As curvas elípticas sobre o corpo dos números reais vêm a ser dadas pelas equações y² = x³ − x e por y² = x³ − x + 1.

ECexamples01.png

As curvas elípticas podem definir-se sobre qualquer corpo K; a definição formal de uma curva elíptica é a de uma curva algébrica projetiva não singular sobre K de gênero 1.

Se a característica de K não é nem 2 nem 3, então toda curva elíptica sobre K pode escrever-se na forma :y² = x³ − pxq onde p e q são elementos de K tais que o polinômio do membro direito x³ − pxq não tenha nenhuma raiz dupla. Se a característica é 2 ou 3 farão falta mais termos.

Definição[editar | editar código-fonte]

Normalmente se define a curva como o conjunto de todos os pontos (x,y) que satisfazem a equação acima e tais que x e y sejam elementos do fecho algébrico de K. Os pontos da curva cujas coordenadas pertençam ambas a K se chamam pontos K-racionais.

Se adicionarmos um ponto "ao infinito", obteremos a versão projetiva de tal curva. Se temos dois pontos da curva, P e Q então podemos descrever de forma unívoca um terceiro ponto que seja a intersecção da curva com a linha que atravessa aos dois pontos P e Q. Se a linha é tangente à curva em um ponto, então esse ponto contará duas vezes; e se a linha é paralela ao eixo y, definimos o terceiro ponto como o "no" infinito. Então justo uma de tais condições será a que cumpra qualquer par de pontos de uma curva elíptica.

ECClines.svg subgrupo deste grupo.

Se a curva se denota por E, este subgrupo se denota normalmente como E(K).

O grupo acima se pode descrever geométrica e algebricamente. Dada a curva y² = x³ - px - q sobre o corpo K (cuja característica assumimos que não é nem 2 nem 3), e os pontos P = (xP, yP) (sub-índice P) e Q = (xQ, yQ) na curva, assumimos primeiro que xPxQ. Seja s = (yP - yQ)/(xP - xQ); já que K é um corpo, s está bem definido. Então podemos definir R = P + Q = (xR, yR) mediante

{x_R} = {s^2} - {x_P} - {x_Q}
{y_R} = -{y_P} + {s({x_P} - {x_R}})

Se xP = xQ, então há duas opções: se yP = -yQ, então a soma se define como 0; assim que o inverso de cada ponto da curva se encontra refletindo-o no eixo x. Se yP = yQ ≠ 0, então R = P + P = 2P = (xR, yR) será dado por

s = {(3{x_P}^2 - p)}/{(2y_P)}
{x_R} = {s^2} - 2{x_P}
{y_R} = -{y_P} + s({x_P} - {x_R})

Se yP = yQ = 0, então P + P = 0.

Implicações do teorema de Mordell-Weil[editar | editar código-fonte]

O teorema de Mordell-Weil estabelece que se o corpo subjacente K é o dos racionais (ou de maneira mais geral um corpo numérico), então o grupo de pontos K-racionais será finitamente gerado. Ainda que se possa determinar facilmente o subgrupo de torsão de E(K), não se conhece um algoritmo geral para computar sua ordem. Uma fórmula para um dado conjunto imagem vem a ser dada pela conjetura de Birch e Swinnerton-Dyer.

Implicações para o último teorema de Fermat[editar | editar código-fonte]

A demonstração recente do último teorema de Fermat se leva a cabo provando um caso especial da profunda conjectura de Taniyama-Shimura que relaciona as curvas elípticas sobre os racionais com as formas modulares; esta conjectura foi também completamente demonstrada.

Se o corpo subjacente K é o dos complexos, toda curva elíptica poderá ser parametrizada por certa função elíptica e sua derivada. Especificamente, a cada curva elíptica E se associa um reticulado L e uma função elíptica de Weierstrass correspondente \wp, tal que a aplicação

φ : C/LE

com

\varphi(z) = \mathbf{C}(\wp(z), \wp'(z))

seja um isomorfismo de grupos e um isomorfismo de superfícies de Riemann.

O que prova em particular que topologicamente, E assemelha-se a um toro (já que C/L é um toro). Se o reticulado L está relacionado com outro reticulado cL mediante a multiplicação por um número complexo distinto de zero c, então as curvas correspondentes são isomorfas. As classes de isomorfismo das curvas elípticas se especificam mediante o j-invariante.

Enquanto que o número de pontos racionais de uma curva elíptica E sobre um corpo finito Fp é difícil de computar em geral, um teorema de Hasse sobre curvas elípticas diz que

 \left| \sharp E( \mathbb{F} ) - p - 1 \right| < 2 \sqrt{p}

Este fato pode entender-se e demostrar-se com algo da teoria geral; ver função zeta local, cohomologia étale.

Para desenvolvimentos posteriores ver aritmética de variedades abelianas.

Curvas elípticas e criptografia[editar | editar código-fonte]

As curvas elípticas sobre corpos finitos são usadas em algumas aplicações em criptografia assim como na fatoração de inteiros. A idea geral nessas aplicações é que se temos um algoritmo que usa certos grupos finitos podemos reescrevê-lo usando os grupos de pontos racionais de curvas elípticas.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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