Superfície de Riemann

Esfera de Riemann.

Superfície de Riemann para a função raiz quadrada.

Uma superfície de Riemann é uma variedade analítica de dimensão complexa um. Como toda variedade analítica, uma superfície de Riemann é orientável.

É possível mostrar que o recobrimento universal $M_0$ de uma superfície de Riemann $M$ é o disco $\{z \in \mathbb{C} | |z| < 1 \}$, a esfera de Riemann $S$, ou o plano complexo $\mathbb{C}$.

Um método clássico para classificar e construir superfícies de Riemann consiste em quocientar a esfera, o disco ou o plano por um grupo $\mathcal{G}$ de automorfismos holomorfos e livres de pontos fixos. A partir da esfera, do disco ou do plano, é possível construir qualquer superfície de Riemann, considerando a seguinte seguinte relação de equivalência sobre $M_0$: x é equivalente a y se e somente se existe algum $g \in \mathcal{G}$ tal que $g(x)=y$.

Exemplo 1

Seja $M_0 = \mathbb{C}$ e $\mathcal{G}$ o grupo das translações em $\mathbb{C}$ do tipo $f_{k_1,k_2}(z)=z + k_1 + k_2i$, onde $k_1$ e $k_2$ são inteiros.

Então $\mathbb{C} / \mathcal{G}$ é holomorfo a um toro $T^2$.