Automorfismo
Na matemática, um automorfismo é um isomorfismo de um objeto matemático nele mesmo. Em certo sentido, o automorfismo é uma simetria do objeto, ou uma forma de mapear o objeto nele mesmo mantendo a sua estrutura. Normalmente, o conjunto dos automorfismos de um objeto nele mesmo forma um grupo, chamado de grupo dos automorfismos, que pode ser chamado de grupo de simetria do objeto.
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Definição [editar]
A definição exata de um automorfismo depende do tipo de "objeto matemático" em questão e o que, precisamente, constitui um "isomorfismo" desse objeto. A definição mais geral em que estas palavras têm um significado abstrato é um ramo da matemática chamado teoria das categorias. A teoria das categorias lida com objetos abstratos e morfismos entre esses objetos1 2 .
Na teoria da categoria, um automorfismo é um endomorfismo (ou seja, um morfismo de um objeto para si mesmo) que é também um isomorfismo (no sentido categórico da palavra).
Esta é uma definição muito abstrata, pois, em teoria das categorias, morfismos não são necessariamente funções e objetos não são necessariamente conjuntos. Na maioria das situações concretas, no entanto, os objetos serão conjuntos com alguma estrutura adicional e os morfismos serão funções preservando essa estrutura.
No contexto da álgebra abstrata, por exemplo, um objeto matemático é uma estrutura algébrica como um grupo, anel ou espaço vetorial3 . Um isomorfismo é simplesmente um homomorfismo bijetivo. (É claro que a definição de um homomorfismo depende do tipo de estrutura algébrica; ver, por exemplo: homomorfismo de grupos, homomorfismo de anéis e transformação linear).
O morfismo identidade (mapeamento identidade) é chamado de automorfismo trivial em alguns contextos. Respectivamente, outros automorfismos (não-identidade) são chamados de automorfismo não triviais.
Grupo de automorfismo [editar]
Se os automorfismos de um objeto X formam um conjunto (em vez de uma classe própria), então eles formam um grupo sob a composição de morfismos. Esse grupo é chamado de grupo de automorfismo de X. Que este é realmente um grupo é fácil de ver:
- Fechamento: composição de dois endomorfismos é outro endomorfismo.
- Associatividade: composição de morfismos é sempre associativa.
- Identidade: A identidade é o morfismo identidade de um objeto para si mesmo que existe por definição.
- Inversos: por definição, cada isomorfismo tem um inverso que também é um isomorfismo, e desde que o inverso também é um endomorfismo do mesmo objeto é um automorfismo.
O grupo de automorfismo de um objecto X em uma categoria C é denotado AutC(X), ou simplesmente Aut(X) se a categoria está clara pelo contexto.
Exemplos [editar]
- Em teoria dos conjuntos, um automorfismo de um conjunto X é uma permutação arbitrária dos elementos de X. O grupo de automorfismo de X é também chamado de grupo simétrico em X.
- Em aritmética elementar, o conjunto dos inteiros, Z, considerado como um grupo sob a adição, tem um único automorfismo não trivial: a negação. Considerado como um anel, porém, tem apenas o automorfismo trivial. De um modo geral, a negação é um automorfismo de qualquer grupo abeliano, mas não de um anel ou campo.
- Um automorfismo entre grupos é um isomorfismo entre grupos de um grupo para si. Informalmente, é uma permutação dos elementos do grupo de tal forma que a estrutura permanece inalterada. Para cada grupo G existe um homomorfismo de grupo natural G → Aut(G) cuja imagem é o grupo Inn(G) dos automorfismos internos4 e cujo núcleo é o centro de G. Assim, se G tem um centro trivial ele pode ser incorporado em seu próprio automorfismo entre grupos5 .
- Em álgebra linear, um endomorfismo de um espaço vetorial V é um operador linear V → V. Um automorfismo é um operador linear invertível em V. Quando o espaço vetorial é finito-dimensional, o grupo de automorfismo de V é o mesmo que o grupo linear geral, GL(V).
- Um automorfismo de corpo é um homomorfismo de anel bijetivo de um corpo para si mesmo. Nos casos dos números racionais (Q) e os números reais (R) não há automorfismos de campo não triviais. No caso de números complesos, C, existe um automorfismo não trivial único que leva R em R:
Ver também [editar]
Referências
- ↑ Pierce, Benjamin C.. Basic Category Theory for Computer Scientists (em inglês). Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1991. p. 1. ISBN 0-262-66071-7
- ↑ MENESES, Paulo Blauth; HAEUSLER, Edward Hermann. Teoria das Categorias para Ciência da Computação (em inglês). Porto Alegre: Sagra Luzzato, 1991. p. 53-54. ISBN 85-241-0662-X
- ↑ DOMINGUES, Hygino H.;IEZZI, Gelson. Introdução à Algebra. [S.l.]: Atual Editora, 1976.
- ↑ FONSECA, Daila Silva Seabra de Moura. Grupos e seus automorfismos. Página visitada em 2010-11-04.
- ↑ PAHL, PJ; DAMRATH, R. Mathematical foundations of computational engineering. Felix Pahl translaton ed. [S.l.]: Springer, 2001. Capítulo: §7.5.5 Automorphisms, p. 376. ISBN 3540679952
