Endomorfismo

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Em matemática, um endomorfismo é um morfismo (ou homomorfismo) de um objeto matemático para ele mesmo. Por exemplo, um endomorfismo de um espaço vetorial V é uma transformação linear ƒ: V → V, e um endomorfismo de um grupo G é um homomorfismo de grupos ƒ: G → G. No geral, nós podemos falar endomorfismo em qualquer categoria. Na categoria dos conjuntos, endomorfismos são funções simples de um conjunto S nele mesmo.

Na categoria, a composição de dois endomorfismos quaisquer de X é novamente um endomorfismo de X. Segue-se que o conjunto de todos os endomorfismos de X forma um monoide, denotado Final(X) (ou FinalC(X) para enfatizar a categoria C).

Uma endomorfismo inversível de X é chamado um automorfismo. O conjunto de todos os automorfismos é um subconjunto de Final(X) com um grupo estrutura, chamado o automorfismo de X e denota Aut(X). No diagrama a seguir as setas denotam implicação:

automorfismo \Rightarrow isomorfismo
\Downarrow \Downarrow
endomorfismo \Rightarrow homomorfismo

Qualquer dois endomorfismos de um grupo abeliano A pode ser adicionado junto à regra (ƒ + g)(a) = ƒ(a) + g(a). Sob esta adição, o endomorfismo de um grupo abeliano forma um anel (o endomorfismo de anel). Por exemplo, o conjunto de endomorfismos de Zn é o anel de todos n × n matrizes com entradas inteiras. O endomorfismo do espaço vetorial ou modulo também forma um anel, como faz o endomorfismo de qualquer objeto em um categoria preadditive. O endomorfismo de um grupo não abeliano gera uma estrutura algebrica conhecida como um nearring. Todo anel com um, é um endomorfismo de anel da sua representação regular, e então é um subanel de um endomorfismo de anel de um grupo abeliano,[1] no entanto há anéis que não são um endomorfismo de anel de qualquer grupo abeliano.

Teoria dos Operadores[editar | editar código-fonte]

Em qualquer categoria concreta, especialmente para Espaço vetorial, endomorfismos são mapas de um conjunto para ele mesmo, e pode ser interpretado como Operação unária neste conjunto, atuação nos elementos, e permitindo definir a noção de orbitas de elementos, etc. Dependendo da estrutura adicional definida para a categoria em que estamos tratando (Topologia, métrica, ...), tais operadores podem ter propriedades como Continuidade, e assim por diante. Mais detalhes podem ser encontrados no artigo sobre Teoria dos operadores.

Endofunções na Matemática[editar | editar código-fonte]

Na Matemática, uma endofunção é uma função cujo Contradomínio é igual ao seu domínio. Uma endofunção homórfica é um endomorfismo.

Tome “S” como um conjunto arbitrário Entre endofunções em “S” encontramos Permutação de “S” e funções constantes associadas a cada x\in S visto que c\in S. Cada permutação de “S” tem o contradomínio igual ao domínio, e é bijetiva e irreversível. Uma função constante em “S”, se “S” tem mais de um elemento, tem um contradomínio que é um subconjunto próprio desse domínio, não é bijetivo (e não invertível). A função associando para cada inteiro natural “n” o chão de “n”/2 tem seu contradomínio igual ao domínio e não invertível. Endofunções finitas são equivalentes a dígrafos monogêneos, isto é, dígrafos que tem todos os nós sem graus iguais a um, e podem ser facilmente descritos. Para conjuntos de tamanho n, existem n^n endofunções no conjunto. Endofunções particulars bijetivas são as involuções, isto é, as funções que coincidem com suas inversas.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.

Ver também[editar | editar código-fonte]