Endomorfismo

 Nota: Para o conceito matemático, veja Para o ‘’’endomórfico ’’’ tipo de corpo.

Em matemática, um endomorfismo é um morfismo (ou homomorfismo) de um objeto matemático para ele mesmo. Por exemplo, um endomorfismo de um espaço vetorial V é uma transformação linear ƒ: V → V, e um endomorfismo de um grupo G é um homomorfismo de grupos ƒ: G → G. No geral, nós podemos falar endomorfismo em qualquer categoria. Na categoria dos conjuntos, endomorfismos são funções simples de um conjunto S nele mesmo.

Na categoria, a composição de dois endomorfismos quaisquer de X é novamente um endomorfismo de X. Segue-se que o conjunto de todos os endomorfismos de X forma um monoide, denotado Final(X) (ou Final_C(X) para enfatizar a categoria C).

Uma endomorfismo inversível de X é chamado um automorfismo. O conjunto de todos os automorfismos é um subconjunto de Final(X) com um grupo estrutura, chamado o automorfismo de X e denota Aut(X). No diagrama a seguir as setas denotam implicação:

automorfismo	$\Rightarrow$	isomorfismo
$\Downarrow$		$\Downarrow$
endomorfismo	$\Rightarrow$	homomorfismo

Qualquer dois endomorfismos de um grupo abeliano A pode ser adicionado junto à regra (ƒ + g)(a) = ƒ(a) + g(a). Sob esta adição, o endomorfismo de um grupo abeliano forma um anel (o endomorfismo de anel). Por exemplo, o conjunto de endomorfismos de Zⁿ é o anel de todos n × n matrizes com entradas inteiras. O endomorfismo do espaço vetorial ou modulo também forma um anel, como faz o endomorfismo de qualquer objeto em um categoria preadditive. O endomorfismo de um grupo não abeliano gera uma estrutura algebrica conhecida como um nearring. Todo anel com um, é um endomorfismo de anel da sua representação regular, e então é um subanel de um endomorfismo de anel de um grupo abeliano, no entanto há anéis que não são um endomorfismo de anel de qualquer grupo abeliano.

Teoria dos Operadores

Em qualquer categoria concreta, especialmente para Espaço vetorial, endomorfismos são mapas de um conjunto para ele mesmo, e pode ser interpretado como Operação unária neste conjunto, atuação nos elementos, e permitindo definir a noção de orbitas de elementos, etc. Dependendo da estrutura adicional definida para a categoria em que estamos tratando (Topologia, métrica, ...), tais operadores podem ter propriedades como Continuidade, e assim por diante. Mais detalhes podem ser encontrados no artigo sobre Teoria dos operadores.

Endofunções na Matemática

Na Matemática, uma endofunção é uma função cujo Contradomínio é igual ao seu domínio. Uma endofunção homórfica é um endomorfismo.

Tome “S” como um conjunto arbitrário Entre endofunções em “S” encontramos Permutação de “S” e funções constantes associadas a cada $x\in S$ visto que $c\in S.$ Cada permutação de “S” tem o contradomínio igual ao domínio, e é bijetiva e irreversível. Uma função constante em “S”, se “S” tem mais de um elemento, tem um contradomínio que é um subconjunto próprio desse domínio, não é bijetivo (e não invertível). A função associando para cada inteiro natural “n” o chão de “n”/2 tem seu contradomínio igual ao domínio e não invertível. Endofunções finitas são equivalentes a dígrafos monogêneos, isto é, dígrafos que tem todos os nós sem graus iguais a um, e podem ser facilmente descritos. Para conjuntos de tamanho n, existem n^n endofunções no conjunto. Endofunções particulars bijetivas são as involuções, isto é, as funções que coincidem com suas inversas.

Ver também

• Morfismo (teoria das categorias)
• Endomorfismo de Frobenius