Módulo (álgebra)

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Este artigo discute sobre o conceito de módulo em álgebra abstrata. Para outros significados da palavra "módulo", vá para Módulo.

Em álgebra abstrata, o conceito de módulo sobre um anel é a generalização da noção de espaço vetorial, em que, em vez de um corpo, temos um anel como o conjunto de escalares. Assim, um módulo, como o espaço vetorial, é o produto entre elementos de um grupo abeliano com um anel. A multiplicação é associativa e distributiva.

Modulos estão fortemente relacionados à representação de grupos. Eles também são um conceito central em álgebra comutativa e álgebra homológica e são usados largamente em topologia algébrica e geometria algébrica.

Importância[editar | editar código-fonte]

Como em um módulo os vetores sofrem a ação de escalares definidos em um anel, este é uma generalização significativa do conceito de espaço vetorial, cujo conjunto de escalares forma um corpo.

Muito da teoria de módulos consiste em estender ao máximo possível as propriedades dos espaços vetoriais aos módulos sobre anéis bem-definidos, como os domínios principais.

As propriedades de independência linear e conjunto gerador são trivialmente estendidas a módulos. Seria possível, portanto, definir base, mas vários módulos não possuem um conjunto linearmente independente que gera o módulo.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Qualquer grupo abeliano pode ser naturalmente considerado como um módulo sobre \Z\,, definindo-se  n \ x \, de forma canônica.
  • Se A é um anel, então A^n\,, com soma e produto definidos de forma usual, é um módulo sobre A.