Representação de grupo

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No campo matemático da teoria da representação, representações de grupos descrevem grupos abstratos em termos de transformações lineares de espaços vetoriais; em particular, eles podem ser usados para representar elementos de grupo como matrizes assim como a operação do grupo pode ser representada por multiplicação de matrizes. Representações de grupos são importantes porque elas permitem que muitos problemas teóricos de grupos serem reduzidos a problemas em álgebra linear, a qual é bem compreendida. Elas são importantes em física porque, por exemplo, elas descrevem como o grupo de simetria de um sistema físico afeta as soluções de equações descrevendo este sistema.

O termo representação de um grupo é também usado em sentido mais geral significando qualquer "descrição" de um grupo como um grupo de transformações de algum objeto matemático. Mais formalmente, uma "representação" significa um homomorfismo do grupo ao grupo de automorfismo de um objeto. Se o objeto é um espaço vetorial nós temos uma representação linear. Algumas pessoas usam realização para a noção geral e reservam o termo representação para o caso especial de representações lineares.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Considere o número complexo u = e2πi / 3 que tem a propriedade de que u3 = 1. O grupo cíclico C3 = {1, u, u2} tem uma representação ρ em C2 dada por:


\rho \left( 1 \right) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\qquad
\rho \left( u \right) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & u \\
\end{bmatrix}
\qquad
\rho \left( u^2 \right) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & u^2 \\
\end{bmatrix}.

Esta representação é fiel pois ρ é uma aplicação bijetiva.

Uma representação equivalente para C3 é


\rho \left( 1 \right) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\qquad
\rho \left( u \right) =
\begin{bmatrix}
u & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\qquad
\rho \left( u^2 \right) =
\begin{bmatrix}
u^2 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}.

O grupo C3 também pode ser representado fielmente em R2 por


\rho \left( 1 \right) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\qquad
\rho \left( u \right) =
\begin{bmatrix}
a & -b \\
b & a \\
\end{bmatrix}
\qquad
\rho \left( u^2 \right) =
\begin{bmatrix}
a & b \\
-b & a \\
\end{bmatrix}

em que a=\Re(u)=-1/2 e b=\Im(u)=\sqrt{3}/2.

Referências[editar | editar código-fonte]