Grupo de Lie

Um grupo de Lie (e/ou "Conjunto de Lie"), que é simbolizado matematicamente pelo "L e/ou S"(de Sterling), é uma variedade diferenciável que admite uma estrutura de grupo onde as operações multiplicação e inversão são deriváveis. Este conceito foi introduzido em 1870 por Sophus Lie ao estudar certas propriedades das equações diferenciais, nesse conjunto figuram diversas funções de grau superior a unidade, hiperbólicas, senoides, e outras funções em diversos graus, que possibilitam ao cálculo da derivada. Inclusive com estudos das funções de grau inferior a unidade, que foram expostas nos seus trabalhos, intitulado na época de "Princípios e Processos para as Diferenciações". Tal livro(tese), foi editado em diversos idiomas a partir de 1870, em diversas edições. Inclusive atualizadas pelo autor a medida que aprofundava seus estudos.

Exemplos

• $\R^n$ - o espaço euclidiano real de dimensão n, visto como um grupo aditivo
• $GL_n(\R)$ - o grupo linear real de ordem n, com a operação de multiplicação de matrizes
• $\mathbb{H}^*$ - o grupo multiplicativo dos quaterniões não nulos
• Seja $n \geq 1$. O grupo $GL(n,k)$ (onde $k=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) das matrizes inversíveis $n$ por $n$ é um grupo de Lie, visto que a operação multiplicação de matrizes é contínua, já que se $A$ e $B$ são matrizes, então as entradas de $AB$ são somas de produtos de entradas de $A$ e $B$.

É possível mostrar que todo subgrupo fechado de $GL(n,k)$ também é grupo de Lie. Disto segue que $U(n), SU(n), O(n)$ e $SO(n)$ são grupos de Lie para todo $n \geq 1$. Em geral, os subgrupos fechados de $GL(n,k)$ são chamados de grupos de Lie clássicos.

Álgebra de Lie

Se $G$ for uma variedade diferenciável de dimensão finita, existe uma construção que torna o espaço tangente à identidade de $G$ uma álgebra, e esta é a chamada álgebra de Lie associada a $G$.

Em termos da teoria de categorias, o functor que associa a cada grupo de Lie a sua álgebra de Lie é uma transformação natural.

É possível mostrar que álgebra de Lie de um grupo de Lie $G$ é isomorfa à álgebra dos campos vetoriais sobre $G$ que são invariantes por translação.

É sabido que para cada $n \geq 1$, a álgebra de Lie associada ao grupo das matrizes $n$ por $n$ unitárias é a álgebra das matrizes $n$ por $n$ auto-adjuntas. Uma generalização deste fato para espaços de operadores limitados sobre espaços de Hilbert é de grande importância para a formulação matemática da Mecânica Quântica, e neste contexto, tal resultado é chamado de teorema de Stone.