Álgebra de Lie

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Em álgebra, uma álgebra de Lie é uma estrutura algébrica cujo principal uso está no estudo dos grupos de Lie e das variedades diferenciáveis. As álgebras de Lie foram introduzidas como ferramenta para o estudo das rotação infinitesimais. O termo "Álgebra de Lie" é uma referência a Sophus Lie, e foi cunhado pelo matemático Hermann Weyl na década de 1930.

Definição e primeiras propriedades[editar | editar código-fonte]

Uma álgebra de Lie \mathfrak{g} é um tipo de álgebra sobre um corpo; é um espaço vetorial sobre um corpo F juntamente com uma operação binária ([\cdot,\cdot]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}, chamada de comutador, ou colchete de Lie), que satisfaz os seguintes axiomas:

 [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad  [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]
para todos escalares a, b em F e todos elementos x, y, z in \mathfrak{g}.
 [x,y]=-[y,x]\,
para todos elementos x, y em \mathfrak{g}. Quando F for um corpo de característica dois, deve-se impor a condição mais forte
 [x,x]=0
para todo x em \mathfrak{g}.
 [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \quad
para todosx, y, z em \mathfrak{g}.

Para qualquer álgebra associativa A com multiplicação *, pode-se construir uma álgebra de Lie L(A). Como espaço vetorial, L(A) coincide com A. O colchete de Lie de L(A) é definido como sendo o seu comutador em A:

 [a,b]=a*b-b*a.

A associatividade da multiplicação * em A implica a identidade de Jacobi para o comutador em L (A). Em particular, a álgebra associativa das matrizes n' × n sobre um corpo F dá origem ao grupo linear geral \mathfrak{gl}_n(F). A álgebra associativa A é chamada de uma álgebra envolvente da álgebra de Lie L (A).

É sabido que cada álgebra de Lie pode ser mergulhada em uma álgebra que é definida, desta forma, a partir de uma álgebra associativa.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Qualquer espaço vetorial V dotado de um colchete de Lie identicamente nulo é uma álgebra de Lie. Tais álgebras de Lie são chamadas de abelianas. Qualquer álgebra de Lie unidimensional sobre um corpo é abeliana, pela anti-simetria do colchete de Lie.
  • O espaço euclidiano tridimensional R3 munido do colchete de Lie dado pelo produto vetorial de espaços vetoriais é uma álgebra de Lie tridimensional.
  • A álgebra de Heisenberg é uma álgebra de Lie tridimensional com geradores x,y,z, cujas relações de comutação são da forma
[x,y]=z,\quad [x,z]=0, \quad [y,z]=0.\,
  • Qualquer grupo de Lie G define uma álgebra de Lie associada \mathfrak{g}=Lie(G).

A definição geral é técnica, mas no caso dos grupos clássicos de matrizes reais, ela pode ser formulada via a aplicação exponencial. A álgebra de Lie \mathfrak{g} consiste das matrizes X da forma ::\exp(tX)\in G\, : para todos t's reais. A álgebra de Lie de \mathfrak{g} é dada pelo comutador de tais matrizes. Como um exemplo concreto, considere o grupo linear especial SL(n,R), consistindo das matrizes n × n com entradas reais e determinante 1. Este um grupo clássico, e a sua álgebra de Lie tem como elementos todas as matrizes n × n reais e com Traço zero.

Relação com grupos de Lie[editar | editar código-fonte]

A correspondência entre álgebras de Lie e grupos de Lie é utilizada de diversas maneiras, incluindo-se na elaboração da lista dos grupos de Lie simples e na teoria da representação dos grupos de Lie. Toda representação de uma álgebra de Lie é levantada de forma única para um representação do grupo de Lie conexo e simplesmente conexo correspondente. De forma recíproca, toda representação de um grupo de Lie induz uma representação da sua álgebra de Lie; suas representações estão biunivocamente correspondidas.

Referências[editar | editar código-fonte]