Base (álgebra linear)

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Na álgebra linear, uma base de um espaço vectorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram esse espaço.[1]

Definição[editar | editar código-fonte]

Se E é um espaço vectorial sobre um corpo K, chama-se base de E a um conjunto de vectores de E linearmente independentes que gera E.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O espaço vectorial \mathbb{R}^n tem por base o conjunto[2]
\{(1,0,0,\ldots,0,0),(0,1,0,\ldots,0,0),\ldots,(0,0,0,\ldots,0,1)\},

que se denomina a sua base canónica.

  • No plano \mathbb{R}^2, a recta de equação y=mx tem por base o conjunto \{(1,m)\}.
  • O espaço vectorial dos polinómios p(x) de coeficientes reais tem uma base infinita, o conjunto \{1,x,x^2,x^3,\ldots\}.
  • Cada corpo K pode ser considerado como um espaço vectorial sobre ele mesmo. Neste caso, qualquer elemento não-nulo a forma uma base \{a\}.
  • O espaço vectorial formado pelo vetor nulo \{0\} tem como base o conjunto vazio.[2]
  • Seja \alpha \in L um elemento algébrico sobre o corpo K, sendo L uma extensão de K. Então existe um polinômio p(x) com coeficientes em K tal que p(x)=0. Podemos definir n, o grau de \alpha em K, como o menor grau dos polinômios p(x) em que p(x)=0. Então K[\alpha] é uma extensão algébrica de K e, portanto, podemos considerar K[\alpha] como um espaço vetorial sobre K. Neste caso, a sua base é \{1,\alpha,\ldots,\alpha^{n-1}\}.

Cardinalidade e dimensão[editar | editar código-fonte]

Um espaço vectorial pode ter mais de uma base. De facto, um espaço vectorial só pode ter uma única base nos seguintes casos:

  • o espaço formado só por 0 sobre qualquer corpo (a base é o conjunto vazio);
  • o espaço \mathbb{Z}_2 como espaço vectorial sobre o corpo \mathbb{Z}_2 (a base é {1}).

Os seguintes resultados, porém, são válidos:

  • Se um espaço vectorial tem uma base B finita, então todas as outras bases também são finitas, e têm a mesma cardinalidade.[3]
  • De modo geral, supondo-se o axioma da escolha, duas bases de um espaço vectorial V tem a mesma cardinalidade (mesmo se a base for um conjunto infinito). Esta cardinalidade designa-se por dimensão de V.[4] Um espaço vectorial que possui uma de suas bases formada por 3 vectores, por exemplo, é um espaço vetorial de dimensão 3.

Existência[editar | editar código-fonte]

Usando-se uma forma equivalente do axioma da escolha, o Lema de Zorn, é fácil mostrar que todo espaço vectorial V tem uma base e, mais geralmente, provar que, para qualquer conjunto S linearmente independente de vectores de V, existe uma base B de V que contém S. Seja L o conjunto de todos as partes linearmente independente de V que contêm S. O conjunto L está parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos. Seja F uma parte de L totalmente ordenada. Então F é majorado; basta ver que a união de todos os elementos de F é novamente linearmente independente e contém S (ou seja, pertence a L) e que contém todos os elementos de F. O lema de Zorn afirma então que L tem algum elemento maximal B. Então, como B ∈ L, B é linearmente independente e contém S. Se B não gerasse V, haveria algum vector v ∈ V que não seria combinação linear de elementos de B. Então B ∪ \{v\} seria também um conjunto linearmente independente que conteria S. Mas B ⊂ B ∪ \{v\} e B ≠ B ∪ \{v\}, o que está em contradição com B ser um elemento maximal de L. Logo, B gera V e, portanto, é uma base.

Subespaços vectoriais[editar | editar código-fonte]

Se o espaço vectorial V tem uma base B, e W é um subespaço vectorial de V, então W tem uma base B_1 com as seguintes propriedades:

Outra propriedade importante é a seguinte:

  • Se W é um subespaço vectorial de V, e W tem uma base B1, então existe uma base B de V tal que B1 é um subconjunto de B.

Este resultado, no caso infinito, depende do axioma da escolha.

Interpretação[editar | editar código-fonte]

Uma boa forma de interpretar o conceito de Base é pensar nas cores primárias: se misturarmos amarelo, magenta e azul ciano nas proporções correctas podemos criar qualquer outra cor que desejemos. Da mesma forma, uma Base permite-nos combinar linearmente ("misturar") os seus vectores ("cores primárias") para obtermos o vector ("a cor") que pretendemos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
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Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Callioli 1990, p. 76–77
  2. a b Callioli 1990, p. 77
  3. Callioli 1990, p. 101
  4. Callioli 1990, p. 78

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa. Álgebra Linear e Aplicações. 6. ed. São Paulo: Atual, 1990. ISBN 9788570562975.