Função polinomial

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Gráfico de uma função polinomial

Em matemática, função polinomial é uma função P que pode ser expressa da forma:[1] [2] [3] [4]

P \left ( x \right ) = a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x^1 + a_{0}x^0= \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^i,

em que n é um número inteiro não negativo e os números a_0, a_1, ... a_{n-1}, a_n são constantes, chamadas de coeficientes do polinômio.

Grau de uma função polinomial[editar | editar código-fonte]

As funções polinomiais podem ser classificadas quanto a seu grau. O grau de uma função polinomial corresponde ao valor do maior expoente da variável do polinômio, ou seja, é o valor de n da função P \left ( x \right )= \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^i. [2] [4]

Sejam f(x) e g(x) polinômios de graus quaisquer. Sempre valem as seguintes leis:[Nota 1]

  • O grau de f(x).g(x) é a soma do grau de f(x) e do grau de g(x);
  • Se f(x) e g(x) têm grau diferente, então o grau de f(x) + g(x) é igual ao maior dos dois; e
  • Se f(x) e g(x) têm o mesmo grau, então o grau de f(x) + g(x) é menor ou igual ao grau de f(x).

Funções polinomiais de grau um[editar | editar código-fonte]

Gráfico de uma função do 1º grau

Aqui, n = 1. Por isso, os polinômios de grau 1 têm a forma P \left ( x \right )= a_0x^0 + a_1x^1= a_0+a_1x.

As funções deste tipo são chamadas de função afim. Se a_0=0, chamamos esta função afim de linear.[2] [4]

Por exemplo, f(x)=2x+1 é uma função polinomial de grau um composta de dois monômios.

Funções polinomiais de grau dois[editar | editar código-fonte]

Gráfico de uma função do 2º grau

Uma função quadrática é definida como uma função que apresenta o expoente 2 como maior expoente das variáveis. O seu gráfico é constituído por uma parábola. É expressa por:[2] [4]

f(x)=ax^2+bx+c.

Por exemplo,

y=4x^2+2x+1\rightarrow o grau é 2 e é composto de três monômios.

Funções polinomiais de outros graus[editar | editar código-fonte]

  • f(x)=2\rightarrow não há variável, mas pode-se considerar que o grau é zero. Esta é uma função constante.[2] [4]
  • f(x)=0\rightarrow neste caso, é conveniente dizer que não há grau, ou que o grau é negativo (menos infinito).
  • f(x)=(1/2)x^4 - 7x^3 + (4/5)\rightarrow é uma função polinomial de grau 4. Neste caso: a_0 = 4/5, a_1 = 0, a_2 = 0, a_3 = -7, a_4 = 1/2.

Função constante[editar | editar código-fonte]

Gráfico de uma função constante

Define-se função constante por :[2] [4]

Dado um número k,

f(x)=k , \forall x \in Dom(f)

Im(f)=\{k\}

Ou seja, o valor da imagem será sempre o mesmo, independente do valor do x.

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x.

Polinômios Especiais[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas e referências

Notas

  1. Normalmente, estas propriedades requerem que f(x) e g(x) não sejam o polinômio nulo, ou que seja adotada a convenção de que o grau do polinômio nulo é menos infinito.

Referências

  1. Stewart, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. p. 29. vol. 1. ISBN 8522104794.
  2. a b c d e f K. Shestopaloff, Yuri. Properties and Interrelationships of Polynomial, Exponential, Logarithmic and Power Functions with Applications to Modeling Natural Phenomena (em inglês). Formato LIVRO. [S.l.]: AKVY PRESS, 2010. 228 pp. 1 vols. ISBN 0-981-38002-6 e ISBN 978-098-138-002-5.
  3. M Lemm, Jeffrey. Algebra of Polynomials (em inglês). Formato LIVRO. [S.l.]: Elsevier, 2000. Capítulo Chapter 1 Polynomials and Polynomial Functions. 321 pp. 1 vols. ISBN 0-080-95414-6 e ISBN 978-008-095-414-1.
  4. a b c d e f Funções Polinomiais: uma visão analítica

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  1. Universidade Estadual Paulista, Revista de matemática e estatística , Volumes 6-8 Centro de Publicações Culturais e Científicas, Universidade Estadual Paulista, 1988, OCLC 14346536
  2. Marcia Lourenço, Ana Paula Ern, Matemática Elementar: Lembrando e Exercitando - 2ª edição Editora Feevale ISBN 8-577-17165-5
  3. N.Z. Shor, Nondifferentiable Optimization and Polynomial Problems , Springer Science & Business Media, 1998 ISBN 0-792-34997-0 (em inglês)
  4. Charles C. Carico, Complex Numbers; Polynomial Functions , Wadsworth Publishing Company, 1974 ISBN 0-534-00329-X (em inglês)
  5. Miguel F. Anjos, Jean B. Lasserre, Handbook on Semidefinite, Conic and Polynomial Optimization , Springer Science & Business Media, 2011 ISBN 1-461-40769-9 (em inglês)
  6. Ian Grant Macdonald, Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials , American Mathematical Soc. ISBN 0-821-88271-6 (em inglês)
  7. Paul A. Fuhrmann, A Polynomial Approach to Linear Algebra , Springer Science & Business Media, 2011 ISBN 1-461-40338-3 (em inglês)
  8. Minggen Lu, Analysis of Panel Count Data Using Monotone Polynomial Splines , ProQuest, 2007 ISBN 0-549-23452-7 (em inglês)
  9. G. E. Collins, Computer Algebra of Polynomials and Rational Functions , Mathematical Association of America (Vol. 80, No. 7 (Aug. - Sep., 1973), pp. 725-755) doi:10.2307/2318161 (em inglês)
  10. Eugene H. Studier, Richard W. Dapson, Roger E. Bigelow, Analysis of polynomial functions for determining maximum or minimum conditions in biological systems , Pergamon, 1975 OCLC 755240069 (em inglês)
  11. David R. Finston, The algebra of polynomial functions on a non-associative algebra , University of California, San Diego, 1983 doi:10.2307/2000356 (em inglês)

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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