Polinómio

Gráfico de um polinômio de grau 5

Em matemática, funções polinomiais, polinómios ^{(português europeu)} ou polinômios ^{(português brasileiro)} são uma classe importante de funções simples e infinitamente diferenciáveis. Devido à natureza da sua estrutura, os polinómios são muito simples de se avaliar e por consequência são usados extensivamente em análise numérica.

História

Determinar as raízes de polinómios, ou "resolver equações algébricas", é um dos problemas mais antigos da matemática. Alguns polinômios, tais como:

f(x) = x² + 1

não possuem raízes dentro do conjunto dos números reais. Se, no entanto, o conjunto de candidatos possíveis for expandido ao conjunto dos números imaginários, ou seja, se se passar a tomar em conta o conjunto dos números complexos, então todo o polinómio (não-constante) possui pelo menos uma raiz (teorema fundamental da álgebra).

Existe uma diferença entre a aproximação de raízes e a determinação de fórmulas concretas que as definem. Fórmulas para a determinação de raízes de polinómios de grau até ao 4º são conhecidas desde o século XVI (ver equação quadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Mas fórmulas para o 5º grau têm vindo a escapar aos investigadores já há algum tempo. Em 1824, Niels Henrik Abel provou que não pode haver uma fórmula geral (envolvendo apenas as operações aritméticas e radicais) para a determinação de raízes de polinómios de grau igual ou superior ao 5º em termos de coeficientes (ver teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcou o início da teoria de Galois, onde se aplica a um estudo detalhado das relações entre raízes de polinómios.

Definição (caso real)

Para a sucessão de termos:

$a_0,\ldots,a_n \in \mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$) com $a_n \ne 0$ e $n\in\mathbb{N}_{0}$

um polinómio de grau n (ou também função racional inteira) é uma função que possui a forma:

$\forall x\in\mathbb{R}, f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} a_{0} & , & n=0 \\ a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\ & , & n\in\mathbb{N} \\ \end{array} \right..$

Alternativamente, o polinómio acima pode ser escrito recorrendo-se à notação sigma:

$\forall x\in\mathbb{R}, f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} a_{0} & , & n=0 \\ \displaystyle a_{0}+\sum_{v=1}^{n} a_{v} x^{v} & , & n\in\mathbb{N} \\ \end{array} \right.$

ou ainda

$\forall x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}, f(x)=\sum_{v=0}^n a_v x^v\,$, com $n\in\mathbb{N}_{0}$.

Os números $a_0,\ldots, a_n$ são denominados de coeficientes do polinómio e o termo a₀ de coeficiente constante (ou termo independente).

Cada elemento somado a_vx^v do polinómio é denomidado por termo. Um polinómio com um, dois ou três termos é chamado de monómio, binómio ou trinómio, respectivamente.

Em relação ao grau, os polinómios podem ser classificados como a seguir:

• grau 0 - polinômio constante;
• grau 1 - polinômio linear;
• grau 2 - polinômio quadrático;
• grau 3 - polinômio cúbico.
• ...
• grau n - polinômio de grau n.

Pode-se estender a definição de polinômio para incluir f(x) = 0, chamado polinômio nulo (caso em que n = 0 e a_n = a₀ = 0). O polinômio nulo não possui grau definido.

Uma equação polinômica obtém-se quando o polinômio é igualado a zero, ou seja:

$f(x)=a_0+\sum_{v=1}^n a_v x^v\ = 0$.

Desta forma podemos falar em raízes do polinômio f(x) e encontrar os valores de x que tornam a igualdade verdadeira, isto é, busca-se a raiz do polinômio f(x) que é um valor de x tal que torne f(x) = 0. Um número que satisfaz uma equação polinômica é chamado de número algébrico. Por exemplo: $\sqrt{2}$ é algébrico e valida o polinômio x² − 2 = 0 pois $(\sqrt{2})^2-2=0$.

Definição (genérica)

A definição acima de um polinómio com coeficientes reais (ou complexos) pode ser generalizada para polinómios com coeficientes em estruturas algébricas mais gerais. O resultado é o anel de polinômios.

Seja $(A, +, \times)\,$ um anel. Então podemos considerar o conjunto $A[x]\,$ das funções $a: \mathbb{N} \to A\,$ que tem suporte finito, ou seja, para as quais o conjunto $\{ n | a(n) \ne 0 \} \,$ é finito. Essas funções representam os coeficientes do polinómio (notar que $a_n\,$ é uma forma de se escrever $a(n)\,$).

O objetivo é escrever uma soma e um produto neste conjunto, de forma que as seqüências do tipo (k, 0, 0, ...) funcionem como os escalares, e a seqüência do tipo (0, 1, 0, ...) funcione como o x dos polinómios.

A definição de $a \oplus b\,$ e $a \otimes b\,$ é feita pelos seus coeficientes, ou seja:

$(a \oplus b)(n) = a_n + b_n\,$

$(a \otimes b)(n) = \Sigma_{i = 0}^n {a_i \ b_{n-i}}\,$

Deve-se observar que as duas definições fazem sentido, pois a soma e o produto destas séries tem suporte finito.

Falta provar os axiomas de anel para $(A[x], \otimes, \oplus)\,$, o que é fácil mas trabalhoso, e que a função

$\pi: A \to A[x]\,$

definida por:

$\pi(k)_0 = k\,$

$\pi(k)_n = 0, \mbox{ se } n > 0\,$

é um isomorfismo entre A e $\pi(A)\,$.

Isso mostra que A pode ser visto como um sub-anel de $A[x]\,$.

Se o anel A possui identidade multiplicativa, então definindo x como a função:

$x_0 = 0\,$

$x_1 = 1\,$

$x_n = 0 \mbox{ se } n > 1\,$

verifica-se que os elementos de $A[x]\,$ são todos da forma:

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n\,$.

Notas

• Equações cujas soluções são números inteiros ou racionais são chamadas de Equações Diofantinas.
• Os polinómios até o grau n e o polinômio nulo formam um espaço vectorial que é normalmente denominado por Π_n. Neste artigo os polinómios foram representados a partir de uma base monomial (ex.: 1,x,x²,...,xⁿ) mas deve ser notado que qualquer outra sequência polinomial pode ser usada como base, como por exemplo os polinómios de Chebyshev.
• Se D é um domínio de integridade, então o anel dos polinómios $D[x]\,$ também é um domínio de integridade.
• Se F é um corpo, então o anel dos polinómios $F[x]\,$ é uma álgebra sobre o corpo F. Como espaço vectorial, $F[x]\,$ tem uma base enumerável. A base canónica é o conjunto $\{ 1, x, x^2, x^3, \ldots \}\,$.

Ver também

• Fatoração de um polinômio
• Sequência polinomial
• Polinómios de Chebyshev
• Polinômios de Boubaker
• Polinómio de Hermite
• Polinómios de Legendre
• Polinómios de Bernstein
• Interpolação polinomial
• Função polinomial

Referências

• Polinomial - Math World, em inglês
• The Development of Algebra