Critério de Eisenstein

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Em matemática, o critério de Eisenstein, do matemático alemão Gotthold Eisenstein, é uma regra que permite classificar alguns polinômios com coeficientes inteiros como irredutíveis. Pelo lema de Gauss, estes polinômios também são irredutíveis sobre os números racionais.

Seja f(x) o polinômio de coeficientes inteiros de grau n:

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 ,     n > 0

Se existe um número primo p tal que

  • p divide cada ai para i < n;
  • p não divide an;
  • p2 não divide a0.

então f(x) é irredutível sobre os racionais.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Prove que q(x) = x3 + 2x + 10 é irredutível no anel de polinômios sobre o corpo dos racionais na variável x. Tome p = 2 primo. Note que:

  • p divide a0 = 10
  • p divide a1 = 2
  • p divide a2 = 0
  • p não divide a3 = 1
  • p2 não divide a0 = 10

Assim, pelo critério de Eisenstein, q(x) é irredutível sobre os racionais.