Critério de Eisenstein

Em matemática, o critério de Eisenstein, do matemático alemão Gotthold Eisenstein, é uma regra que permite classificar alguns polinômios com coeficientes inteiros como irredutíveis. Pelo lema de Gauss, estes polinômios também são irredutíveis sobre os números racionais.

Seja f(x) o polinômio de coeficientes inteiros de grau n:

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 , n > 0$

Se existe um número primo p tal que

• p divide cada a_i para i < n;
• p não divide a_n;
• p² não divide a₀.

então f(x) é irredutível sobre os racionais.

Exemplo

Prove que q(x) = x³ + 2x + 10 é irredutível no anel de polinômios sobre o corpo dos racionais na variável x. Tome p = 2 primo. Note que:

• p divide a₀ = 10
• p divide a₁ = 2
• p divide a₂ = 0
• p não divide a₃ = 1
• p² não divide a₀ = 10

Assim, pelo critério de Eisenstein, q(x) é irredutível sobre os racionais.