Lemniscata de Bernoulli

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A Lemniscata de Bernoulli

A Lemniscata de Bernoulli é a curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana:

(x^2 \ + \ y^2)^2 = 2 \ a^2 \ (x^2 \ - \ y^2)

A lemniscata também pode ser descrita pelas coordenadas polares abaixo,

r^2 = a^2 \cos 2\theta\,

pela respectivas coordenadas bipolares,

rr' = \frac{a^2}{2}

ou pela equação paramétrica:

x = a \cos t \sqrt{2 \cos (2t)}; \qquad y = a \sin t \sqrt{2 \cos (2t)}

A curva tem a forma similar ao numeral 8 e o símbolo de infinito (\infty).

A lemniscata foi descrita primeiramente por Jakob Bernoulli em 1694 como uma modificação da elipse, que é o lugar geométrico de pontos para qual a soma das distâncias para cada um de dois focos fixos é uma constante[1] . A Oval de Cassini, por sua vez, é o lugar de pontos para os quais o produto destas distâncias é constante. No caso onde a curva atravessa o ponto no meio caminho entre os focos, a oval é uma lemniscata de Bernoulli.

Bernoulli chamou isto de lemniscus que em latim significa "faixa suspensa". A lemniscata pode ser obtida como o inverso geométrico de uma hipérbole, com o círculo de inversão centrado no centro da hipérbole (bissetriz de seus dois focos).

Derivadas[editar | editar código-fonte]

Cada derivada abaixo foi calculada usando derivações implícitas.

Com y em função de x[editar | editar código-fonte]

\frac{dy}{dx} = \begin{cases}
\mbox{infinito} & \mbox{se } y = 0 \mbox{ e } x \ne 0 \\
\pm1 & \mbox{se } y = 0 \mbox{ e } x = 0 \\
\frac{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)}{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}  & \mbox{se } y \ne 0   
\end{cases}
\frac{d^2y}{dx^2} = \begin{cases}
\mbox{infinito} & \mbox{se } y = 0 \mbox{ e } x \ne 0 \\
0 & \mbox{se } y = 0 \mbox{ e } x = 0 \\
\frac{3a^6(y^2 - x^2)}{y^3(a^2 + 2x^2 + 2y^2)^3}  & \mbox{se } y \ne 0  
\end{cases}

Com x em função de y[editar | editar código-fonte]

\frac{dx}{dy} = \begin{cases}
\mbox{infinito} & \mbox{se } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
\pm1 & \mbox{se } x = 0 \mbox{ e } y = 0 \\
\frac{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)}   & \mbox{caso contrario }  
\end{cases}
\frac{d^2x}{dy^2} = \begin{cases}
\mbox{infinito} & \mbox{se } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
0 & \mbox{se } x = 0 \mbox{ e } y = 0 \\
\frac{3a^6(x^2 - y^2)}{x^3(a^2 - 2x^2 - 2y^2)^3}  & \mbox{caso contrario }  
\end{cases}

Curvatura[editar | editar código-fonte]

Quando as duas primeiras derivadas são conhecidas, a curvatura é facilmente calculada:

\kappa = \pm3(x^2 + y^2)^{1/2}a^{-2} \,

O sinal a ser escolhido deve ser de acordo com a direção de movimento ao longo da curva. A lemniscata tem a propriedade da qual a magnitude da curvatura em qualquer ponto é proporcional à distância daquele ponto da origem.

Comprimento de arco como parâmetro e funções elípticas[editar | editar código-fonte]

A determinação do comprimento de arco como parâmetro da lemniscata levou às integrais elípticas, descobertas durante o século XVIII. Por volta de 1800, essa função elíptica era estudada por Carl Friedrich Gauss. Largamente inédito na ocasião, mas foram feitas insinuações a elas nas notas de sua obra "Disquisitiones Arithmeticae".

Seção[editar | editar código-fonte]

É possível obter a curva, secionando-se um torus por meio de um plano paralelo ao eixo de revolução. A tangência do perímetro interno origina uma Lemniscata no contorno da seção[2] .

Referências

  1. Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982, p. 316
  2. [1], Imagem, acessada em 08-07-2011

Ver também[editar | editar código-fonte]