Lemniscata de Bernoulli

A Lemniscata de Bernoulli

A Lemniscata de Bernoulli é a curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana:

$(x^2 \ + \ y^2)^2 = 2 \ a^2 \ (x^2 \ - \ y^2)$

A lemniscata também pode ser descrita pelas coordenadas polares abaixo,

$r^2 = a^2 \cos 2\theta\,$

pela respectivas coordenadas bipolares,

$rr' = \frac{a^2}{2}$

ou pela equação paramétrica:

$x = a \cos t \sqrt{2 \cos (2t)}; \qquad y = a \sin t \sqrt{2 \cos (2t)}$

A curva tem a forma similar ao numeral 8 e o símbolo de infinito ($\infty$).

A lemniscata foi descrita primeiramente por Jakob Bernoulli em 1694 como uma modificação da elipse, que é o lugar geométrico de pontos para qual a soma das distâncias para cada um de dois focos fixos é uma constante . A Oval de Cassini, por sua vez, é o lugar de pontos para os quais o produto destas distâncias é constante. No caso onde a curva atravessa o ponto no meio caminho entre os focos, a oval é uma lemniscata de Bernoulli.

Bernoulli chamou isto de lemniscus que em latim significa "faixa suspensa". A lemniscata pode ser obtida como o inverso geométrico de uma hipérbole, com o círculo de inversão centrado no centro da hipérbole (bissetriz de seus dois focos).

Derivadas

Cada derivada abaixo foi calculada usando derivações implícitas.

Com $y$ em função de $x$

$\frac{dy}{dx} = \begin{cases} \mbox{infinito} & \mbox{se } y = 0 \mbox{ e } x \ne 0 \\ \pm1 & \mbox{se } y = 0 \mbox{ e } x = 0 \\ \frac{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)}{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)} & \mbox{se } y \ne 0 \end{cases}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \begin{cases} \mbox{infinito} & \mbox{se } y = 0 \mbox{ e } x \ne 0 \\ 0 & \mbox{se } y = 0 \mbox{ e } x = 0 \\ \frac{3a^6(y^2 - x^2)}{y^3(a^2 + 2x^2 + 2y^2)^3} & \mbox{se } y \ne 0 \end{cases}$

Com $x$ em função de $y$

$\frac{dx}{dy} = \begin{cases} \mbox{infinito} & \mbox{se } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\ \pm1 & \mbox{se } x = 0 \mbox{ e } y = 0 \\ \frac{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)} & \mbox{caso contrario } \end{cases}$

$\frac{d^2x}{dy^2} = \begin{cases} \mbox{infinito} & \mbox{se } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\ 0 & \mbox{se } x = 0 \mbox{ e } y = 0 \\ \frac{3a^6(x^2 - y^2)}{x^3(a^2 - 2x^2 - 2y^2)^3} & \mbox{caso contrario } \end{cases}$

Curvatura

Quando as duas primeiras derivadas são conhecidas, a curvatura é facilmente calculada:

$\kappa = \pm3(x^2 + y^2)^{1/2}a^{-2} \,$

O sinal a ser escolhido deve ser de acordo com a direção de movimento ao longo da curva. A lemniscata tem a propriedade da qual a magnitude da curvatura em qualquer ponto é proporcional à distância daquele ponto da origem.

Comprimento de arco como parâmetro e funções elípticas

A determinação do comprimento de arco como parâmetro da lemniscata levou as integrais elípticas, descobertas durante o século XVIII. Por volta de 1800, essa função elíptica era estudada por Carl Friedrich Gauss. Largamente inédito na ocasião, mas foram feitas insinuações a elas nas notas do trabalho dele "Disquisitiones Arithmeticae".

Seção

É possível obter a curva, secionando-se um torus por meio de um plano paralelo ao eixo de revolução. A tangência do perímetro interno origina uma Lemniscata no contorno da seção .