Curvatura

Círculo osculador ilustrando as propriedades da curvatura.

Curvatura (física)

A Relatividade Geral prevê que um corpo de grande massa pode alterar a geometria do espaço-tempo, tornando curvo. Essa curvatura do espaço-tempo quadridimensional altera a trajetória dos corpos que passem em torno de si, como a deflexão da luz, que tem seus feixes arqueados para dentro pelo campo gravítico do corpo. Nesse espaço-tempo a geodésica entre dois observadores não é a reta.

Curvatura (geometria diferencial)

A curvatura de uma curva bidimensional dada em forma explícita, $y=f(x)$ tem uma curvatura $K$ num ponto $x$, sendo $K=\frac{y\prime\prime}{(1+y\prime^2)^{3/2}}$, sendo $y\prime$ a derivada de primeira ordem de $y$: $\frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}$ e $y\prime\prime$ é a derivada de segunda ordem de $y$: $y\prime\prime=\frac{d^2 y}{dx^2}=\frac{d^2 f(x)}{dx^2}$.

A representação de limite para a curvatura de uma curva no seu ponto $P(x,y)$ é $K=\lim\limits_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta s}$, onde $\Delta s$ é o comprimento da curva entre o ponto $P(x,y)$ e um ponto $Q(x,y)$, também na curva, de modo que a distância entre P e Q tenda a 0. $\Delta \theta$ é o ângulo de giro da tangente da curva, entre o ponto P e Q.

O raio do circulo osculador da curva é $\frac{1}{|K|}$.