Número p-ádico

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Em Matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897.

Para cada número primo p, os números p-adicos formam uma extensão de corpos dos números racionais descritos primeiramente por Hensel. Foram utilizados na resolução de vários problemas da teoria dos números, frequentemente com o princípio local-global de Helmut Hasse , que diz, más o menos, que una equação pode ser resolvida nos números racionais se e somente se for possível resolvê-la nos números reais e nos números p-ádicos para todo primo p. O espaço \mathbb{Q}_p de todos os números p-ádicos tem a propiedade topológica desejável de completitude, que nos permite o desenvolvimento da análise p-ádica, semelhante à Análise real.

Preliminares[editar | editar código-fonte]

Seja a um número inteiro positivo não-nulo e p um número primo. Então a representação p-ádica (ou expansão p-ádica) de a é representada como uma soma infinita:[1]

a = \pm\sum_{- \infty}^{+ \infty} a_i p^r  = a_{-r} \frac{1}{p^r} + a_{-r+1} \frac{1}{p^{r-1}} + \ldots + a_{-1} \frac{1}{p} + a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots\,

onde os a_r são interos no intervalo  0 \le a_r \le p-1. Por exemplo, a expansão "2-ádica" (ou expansão binária) de 35 é 1·25 + 0·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20, escrita de modo mais simples em notação de base 2: 1000112. O principal uso desta ferramenta é na teoria dos números.

Construção intuitiva[editar | editar código-fonte]

p = 2 ← distância = 1 →
De-
ci-
mal
Bi-
ná-
rio
← d = ½ → ← d = ½ →
‹ d=¼ › ‹ d=¼ › ‹ d=¼ › ‹ d=¼ ›
‹⅛› ‹⅛› ‹⅛› ‹⅛› ‹⅛› ‹⅛› ‹⅛› ‹⅛›
................................................
17  10001          J      
16 10000  J  
15 1111     L
14 1110   L  
13 1101     L
12 1100   L  
11 1011     L
10 1010   L  
9 1001     L
8 1000   L  
7 111   L
6 110 L  
5 101   L
4 100 L  
3 11   L
2 10 L  
1 1   L
0 0…000 L  
−1 1…111      J
−2 1…110    J  
−3 1…101      J
−4 1…100    J  
Dec Bin ················································
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-ádico (p = 2) arranjo de números inteiros, a partir da esquerda para a direita. Isto mostra um padrão de subdivisão hierárquica comum para uma ultramétrica espacial. Pontos numa distância de 1/8 são agrupados em faixa de uma cor. Um par de faixas numa distância de 1/4 tem a mesma chroma, quatro faixas numa distância 1/2 tem a mesma tonalidade. A tonalidade é determinada pelo bit menos significante, o saturação – pela próximo (21) bit, e o brilho depende dos valores de 22 bits. Bits (lugares dos dígitos) que são menos significativas para a métrica habitual são mais significativos para as distânciasp-ádicas.

Assim como \mathbb{R}\, pode ser gerado a partir de \mathbb{Q}\, a partir da definição usual de valor absoluto, ou seja, \mathbb{R}\, é \mathbb{Q}\, acrescido do valor limite das sucessões de Cauchy,[Nota 1] o conjunto dos números p-ádicos também é \mathbb{Q}\, ao qual são agregados os valores limites das sucessões de Cauchy, só que, em vez de usar o valor absoluto usual, usa-se um valor absoluto diferente.[2]

Este valor absoluto diferente, o valor absoluto p-ádico, representado por |.|p, é tal que multiplicar um número por p, que no valor absoluto usual faz o resultado ser multiplicada por p, faz, neste caso, ser dividido por p. Por exemplo:[2]

\|p^n\|_p = (\frac {1}{p})^n\,

Como consequência, a sucessão das potências de p, xn = pn, que, no valor absoluto usual é uma sucessão divergente (seu limite é infinito), no valor absoluto p-ádico é uma sucessão convergente, e seu limite é zero.[2]

Define-se \mathbb{Q}_p\, como sendo a completação de \mathbb{Q}\, usando-se o valor absoluto p-ádico.[2] É simples verificar que \mathbb{Q}_p\, também é um corpo.[Nota 2]

Um resultado do valor absoluto p-ádico é que o critério para convergência de uma série é mais simples que o critério para o valor absoluto usual: para uma série infinita \sum_{n = 1}^\infty a_n\, ser convergente, é necessário e suficiente que an seja uma sequência que converge para zero.[2] [Nota 3]

Ou seja, para índices an números naturais entre 0 e p-1, uma expressão do tipo:

a_{-k} p^{-k} + \ldots + a_{-1} p^{-1} + a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots\,

converge para algum número p-ádico. O resultado mais importante, porém, é que é possível demonstrar que todo número p-ádico pode ser escrito de forma única como uma série desta forma, ou seja, uma série de potências em p que está limitada para as potências negativas de p, mas não precisa estar limitada para as potências positivas.[2]

Valor absoluto p-ádico[editar | editar código-fonte]

Para um número p-ádico a ≠ 0 expresso como:

a = a_{-r} \frac{1}{p^r} + a_{-r+1} \frac{1}{p^{r-1}} + \ldots + a_{-1} \frac{1}{p} + a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots\,

com a-r ≠ 0, o valor absoluto p-ádico vale:

\| a \|_p = p^r\,

Por exemplo, |p|p = 1/p e |p2|p = 1/p2.[3]

Toda sequência de Cauchy em \mathbb{Q}_p\, converge.[3]

Notas e referências

Notas

  1. Para testar a convergência de uma sucessão, é preciso testar em relação a algum valor limite, ou seja, dada uma distância pequena, todos os valores da sucessão, exceto um número finito, estão mais próximos do limite do que esta distância. Uma sucessão de Cauchy é uma sucessão em que propriedade de convergência é testada entre valores da própria sucessão, ou seja, quando podemos dizer que, para alguma distância pequena que se quer testar, todos os valores da sucessão, exceto um número finito deles, estão mais próximos que esta distância.
  2. Esta prova é idêntica à prova de que \mathbb{R}\, é um corpo, pela construção como o conjunto das sucessões de Cauchy equivalentes segundo o valor absoluto usual.
  3. No caso da norma usual, o contra-exemplo padrão é a série harmônica 1 + 1/2 + 1/3 + ....

Referências

  1. Christian Wuthrich, Teaching, Further Number Theory, 6 p-adic numbers, 6.3 The p-adic numbers [em linha]
  2. a b c d e f Silvio Levy, 23. Absolute value on fields [em linha]
  3. a b Christian Wuthrich, Teaching, Further Number Theory, 6 p-adic numbers, 6.4 The absolute value

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]


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