Octoniões

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Conjuntos de números

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots

Naturais \mathbb{N}
Inteiros \mathbb{Z}
Racionais \mathbb{Q}
Reais \mathbb{R}
Imaginários
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Números hiper-reais
Números hipercomplexos

Quaterniões \mathbb{H}
Octoniões \mathbb{O}
Sedeniões \mathbb{S}
Complexos hiperbólicos \mathbb{R}^{1,1}
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões
Tessarines

Na matemática, os octoniões (português europeu) ou octônios (português brasileiro) são uma extensão não-associativa dos quaterniões. Sua álgebra da divisão formada de 8 dimensões sobre os números reais é o mais extenso que pode ser obtido da construção de Cayley-Dickson. A álgebra do octoniões é frequentemente denotada como \mathbb{O}.

Possivelmente por não oferecem uma multiplicação associativa, os octoniões recebem às vezes menos atenção do que os quaterniões. Apesar desta falta da popularidade, eles são relacionados a um número de estruturas excepcionais na matemática, entre elas os grupos excepcionais de Lie. Octoniões são também promissores na física, por exemplo, para avanços na teoria das cordas.

Definição[editar | editar código-fonte]

Os octoniões podem ser definidos como octetos (ou 8-truplas) de números reais. Cada octonião é uma combinação linear real dos octoniões unitários 1, i, j, k, l, il, jl\, e kl\,. Isto é, cada octonião x\, pode ser escrito na forma

x = x_0 + x_1i + x_2j + x_3k + x_4l + x_5il + x_6jl + x_7kl\,

com coeficientes reais x_i\,.

A adição dos octoniões é realizada somando-se os coeficientes correspondentes, como com os números complexos e os quaterniões. Pela linearidade, a multiplicação dos octoniões é completamente determinada pela tabela da multiplicação para os octoniões unitários dados abaixo

1 i j k l il jl kl
i -1 k -j il -l -kl jl
j -k -1 i jl kl -l -il
k j -i -1 kl -jl il -l
l -il -jl -kl -1 i j k
il l -kl jl -i -1 -k j
jl kl l -il -j k -1 -i
kl -jl il l -k -j i -1

A base para os octoniões dada aqui não é quase tão universal quanto a base padrão para os quaterniões; entretanto, quase todas as outras diferem dessa somente quanto à ordem e o sinal.

Observa-se que a multiplicação não é associativa: i(jl) = -kl, mas (ij)l = kl.

Conjugado, norma e inverso[editar | editar código-fonte]

O conjugado de um octonião

x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl

é dado por

x = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.

A conjugação é uma involução de \mathbb{O} e satisfaz (xy)^* = y^*x^*\, (note a mudança de ordem).

A parte real de x\, é definida como {(x + x^*)}\over 2\, = x_0\, e a parte imaginária como {(x - x^*)}\over 2\,. O conjunto de todos os octoniões puramente imaginários forma um subespaço de 7 dimensões de \mathbb{O},

denotado Im\, \mathbb{(O)}. A norma do octonião x\, é definida como

\|x\| = \sqrt{x^{*} x}

A raiz quadrada é definida aqui como x^*x = xx^*\,, que é sempre um número real não negativo:

\|x\|^2 = x^{*}x = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2

Essa norma concorda com a norma euclidiana padrão em R  ^8\,.

A existência de uma norma em \mathbb{O} implica a existência de inversos para cada elemento diferente de

zero de \mathbb{O}. O inverso de x \ne 0\, é dado por

x^{-1} = \frac{x^{*}}{\|x\|^2}

Isso satisfaz xx^{-1} = x^{-1}x = 1\,.

Ver também[editar | editar código-fonte]