Número transcendente

Um número transcendente (ou transcendental) é um número real ou complexo que não é raiz de nenhuma equação polinomial a coeficientes racionais. Um número real ou complexo é assim transcendente somente se ele não for algébrico.

Exemplos

• O número π
• O número e (base dos logaritmos neperianos)
• O número de Champernowne 0,12345678910111213... obtido escrevendo-se a sequência de números inteiros em base dez (teorema de Mahler, 1961)
• Todos os números de Liouville são transcendentes.
• Ao menos um dos dois números e+π e eπ é transcendente.
• O Teorema de Gelfond-Schneider, que responde ao Sétimo problema de Hilbert, mostra que os seguintes números são transcendentes: $2^\sqrt 2 , \sqrt 5 ^\sqrt 7$, dentre outros.
• O Teorema de Lindemann–Weierstrass mostra que os seguintes números são transcendentes: $e^\sqrt 2, \sin 1, \ln 2$, dentre outros.

Propriedades

• Pode-se dizer que a "maioria" dos números reais ou complexos é transcendente, uma vez que o conjunto dos números algébricos forma um conjunto enumerável.
• Na definição, tanto faz dizer que um número é transcendente quando não é raiz de uma equação com coeficientes racionais ou com coeficientes inteiros.
• Assim como a noção de número algébrico se generaliza para "número algébrico sobre um corpo", temos que um número é "transcendente sobre um corpo" quando ele pertence a uma extensão e não é algébrico sobre este corpo.