Números de Liouville

Em matemática, sobretudo na teoria dos números, um número real $x\,$ é dito número de Liouville, em honra ao matemático francês Joseph Liouville, se para todo número inteiro positivo $n\,$, existirem inteiros $p\,$ e $q\,$ tais que:

$0<\left|x-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^n},~~q>1\,$

Números de Liouville, são, então números que podem ser aproximados, em algum sentido, tão bem quanto se queira por números racionais

Em 1844, Joseph Liouville mostrou que todo número com esta propriedade de aproximação são transcendentes. Este resultado permitiu-lhe construir sua famosa constante de Liouville, o primeiro número transcendente reconhecido como tal.

Propriedades

• Sabe-se que todo número de Liouville é um número transcendente. A recíproca, no entanto, é falsa. Existem números transcendentes (como e e pi) que não são de Liouville.
• O conjunto dos números de Liouville é um conjunto de medida zero na reta.
• O conjunto dos números de Liouville é o complementar de um conjunto de primeira categoria na reta.

Irracionalidade dos números de Liouville

É relativamente fácil provar que um número $x\,$ de Liouville é necessariamente um número irracional. Para isto, procedemos por contradição:

Suponha $x=\frac{c}{d}\,$ e escolha um inteiro positivo $n\,$ tal que $2^{n-1}>d\,$. Pela definição de número de Liouville, existem inteiros $p\,$ e $q\,$ tais que:

$0 <\left|x - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^n}\,$.

A primeira desigualdade prova que $\frac{p}{q} \ne \frac{c}{d}\,$ o que equivale a dizer que $|cq-pd|\ge 1\,$, então:

$\left|x - \frac{p}{q}\right| = \left|\frac{c}{d} - \frac{p}{q}\right| =\left|\frac{cq-pd}{dq}\right|\ge \frac{1}{dq} > \frac{1}{2^{n-1} q} \ge \frac{1}{q^n}\,$

o que é uma contradição.

A constante de Liouville

A constante de Liouville é historicamente o primeiro número transcendente reconhecido como tal e define-se pela série numérica:

$L=\sum_{j=1}^{\infty}10^{-j!}\,$

A convergência desta série é facilmente provada usando o teste da razão. Para mostrar que é um número de Liouville, escolha um inteiro positivo $n\,$ e defina:

$p=\sum_{j=1}^{n}10^{n!-j!},~~~q=10^{n!}\,$

Temos então:

$\left|L-\frac{p}{q}\right|=\sum_{j=n+1}^{\infty}10^{-j!}=\sum_{j=0}^{\infty}10^{-(n+j+1)!}\leq \sum_{j=0}^{\infty}10^{-(n+1)!-j}=10^{-(n+1)!}\sum_{j=0}^{\infty}10^{-j}<10^{-n!n}=\frac{1}{q^n}\,$

Como $L\neq\frac{p}{q}\,$, a primeira desigualdade é trivial e temos que $L\,$ é um número de Liouville e, portanto, um número transcendente.

Transcendência dos números de Liouville

A demonstração deste teorema de Liouville procede estabelecendo primeiramente um lema a respeito dos números algébricos. Este lema é comumente chamado de Teorema de Liouville sobre as aproximações diofantinas.

Lema : Se $\alpha\,$ é um número irracional raiz de um polinômio $f\,$ de grau $n\,$ positivo e com coeficientes inteiros, então existe um real $A\,$ positivo tal que, para toda escolha de inteiros $p\,$, $q>0\,$, vale:

$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| > \frac{A}{q^n}\,$.

Demonstração do lema

Seja M, o valor máximo de $|f'(x)|\,$ no intervalo $[\alpha-1, \alpha+1]\,$. Sejam $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\,$ as raízes distintas de $f\,$ que diferem de $\alpha\,$. Fixe $A > 0\,$ satisfazendo:

$A <\min\left(1, \frac{1}{M}, |\alpha - \alpha_1|, |\alpha - \alpha_2|, \ldots, |\alpha - \alpha_m|\right)\,$

agora, suponha que existam inteiros $p\,$ e $q\,$ contradizendo o lema:

$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| \le \frac{A}{q^n} \le A <\min\left(1, |\alpha - \alpha_1|, |\alpha - \alpha_2|, \ldots, |\alpha - \alpha_m|\right)\,$

então $\frac{p}{q} \in [\alpha - 1, \alpha + 1]\,$ e $\frac{p}{q}\notin \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\}\,$, e como $\alpha\,$ é irracional, $\frac{p}{q}\ne \alpha\,$ então $\frac{p}{q}\,$ não é raiz de $f\,$.

Pelo teorema do valor médio, há um $x_0\,$ entre $\frac{p}{q}\,$ e $\alpha\,$ tal que

$f(\alpha) - f\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\alpha - \frac{p}{q}\right) f'(x_0),$

Uma vez que $\alpha\,$ é raiz de $f\,$' mas $\frac{p}{q}\,$ não é, é fácil ver que $f'(x_0)\neq 0\,$ e, conseqüentemente, $|f'(x_0)| > 0\,$ e, portanto :

$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| = \frac{\left|f(\alpha) - f(\frac{p}{q})\right|}{|f'(x_0)|} = \frac{\left|f(\frac{p}{q})\right|}{|f'(x_0)|}\,$

$f\,$ é, então da forma $\sum_{i=1}^n c_i x^i\,$ com cada $c_i\,$ inteiro; logo podemos expressar $\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|\,$ como:

$\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right| = \left|\sum_{i=1}^n c_i p^i q^{-i}\right| = \frac{\left|\sum_{i=1}^n c_i p^i q^{n-i}\right|}{q^n} \ge \frac{1}{q^n}\,$

Como $\frac{p}{q}\,$ não é raiz de $f\,$, o número inteiro $\sum_{i=1}^n c_i p^i q^{n-i}\neq 0\,$ e, portanto, temos:

$\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right| \ge \frac{1}{q^n}\,$

Posto que $|f'(x_0)| \le M\,$ pela definição de $M\,$, e $\frac{1}{M} > A\,$ pela definição de $A\,$, temos:

$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| = \frac{\left|f(\frac{p}{q})\right|}{|f'(x_0)|} \ge \frac{1}{M q^n} > \frac{A}{q^n} \ge \left|\alpha - \frac{p}{q}\right|\,$

O que é uma contradição e demonstra o lema.

Demonstração de todo número de Liouville é transcendente

Seja $x\,$ um número de Liouville, já mostramos que $x\,$ é irracional. Se $x\,$ for algébrico, então, pelo lema, existe um certo número inteiro $n\,$ e um certo inteiro real positivo $A\,$ tal que para todos os pares $p\,$ e $q\,$, vale:

$\left|x - \frac{p}{q}\right| > \frac{A}{q^n}\,$.

Fixe $r\,$ um inteiro positivo tal que $\frac{1}{(2^r)} \le A\,$. Define $m=r+n\,$. Da defininção de número de Liouvile, existem inteiros $a\,$ e $b>1\,$ tais que:

$\left|x - \frac{a}{b}\right| < \frac{1}{b^m} = \frac{1}{b^{r+n}} = \frac{1}{(b^r b^n)} \le \frac{1}{(2^r b^n)} \le \frac{A}{b^n} \,$

uma contradição que demonstra o teorema.

O conjunto dos números de Liouville tem medida zero

Um resultado interessante é que o conjunto $\mathbb{L}\,$ formado por todos os números de Liouville na reta possui medida zero.

Para mostrar isto, basta verificar que para todo $m\,$ inteiro positivo, vale:

$\mu^*(\mathbb{L}\cap(-m,m))=0\,$

onde $\mu^*$ é a medida exterior de Lebesgue na reta.

Pela definição de número de Liouville, temos que se $x\in\mathbb{L}\,$ e $n\,$ é um inteiro positivo, então existem $p\,$, $q\,$ tais que:

$\left|x - \frac{p}{q}\right| <\frac{1}{q^n},~~q\ge 2\,$.

em outras palavras:

$x\in \left(\frac{p}{q}- \frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+ \frac{1}{q^n}\right)\,$.

com $\frac{p}{q}\in\left(x-\frac{1}{q^n},x+\frac{1}{q^n}\right)\subseteq\left(-m-\frac{1}{q^n},m+\frac{1}{q^n}\right) \,$

ou, ainda: $p\in\left(-mq-\frac{1}{q^{n-1}},mq+\frac{1}{q^{n-1}}\right) \,$ Como $p\,$ é inteiro e $\frac{1}{q^{n-1}}\leq 1\,$, podemos escrever $p\in\left(-mq,mq\right) \,$.

logo:

$x\in \bigcup_{q=2}^{\infty}\bigcup_{p=-mq}^{mq}\left(\frac{p}{q}- \frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+ \frac{1}{q^n}\right)\,$.

e, portanto:

$\mathbb{L}\cap(-m,m)\subseteq \bigcup_{q=2}^{\infty}\bigcup_{p=-mq}^{mq}\left(\frac{p}{q}- \frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+ \frac{1}{q^n}\right),~~\forall n=1,2,3,\ldots\,$.

Uma vez que $\left|\left(\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)-\left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n}\right)\right|=\frac{2}{q^n}$, podemos estimar:

$\mu^*\left(\mathbb{L}\cap(-m,m)\right)\leq \sum_{q=2}^{\infty}\sum_{p=-mq}^{mq}\frac{2}{q^n}=\sum_{q=2}^\infty\frac{2(2mq+1)}{q^n}\leq (4m+1)\sum_{q=2}^\infty\frac{1}{q^{n-1}}\leq (4m+1)\int^\infty_1\frac{dq}{q^{n-1}}\leq\frac{4m+1}{n-2}, ~~\forall n>2\,$

Do fato que $\lim_{n\to\infty}\frac{4m+1}{n-2}=0$, temos que $\mathbb{L}\cap(-m,m)\,$ tem medida exterior nula e portanto é mensurável com medida zero. E o resultado segue.

O conjunto dos números de Liouville é o complementar de um conjunto magro

Vamos mostrar agora que, não obstante o conjunto dos números de Liouville seja "pequeno" do ponto de vista da medida, ele é grande do ponto de vista da topologia.

Para cada $n\,$ inteiro positivo defina:

$U_n=\bigcup\limits_{q=2}^\infty\bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)$.

Os conjuntos $U_n\,$ são abertos e densos na reta real ${\mathbb R}$, pois é um conjuto aberto que contém os racionais. Mais ainda, $L=\bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n\setminus {\mathbb Q}$ e disto segue que $L\,$ é G-delta denso, logo seu complementar é uma intersecção enumerável de fechados nunca densos.