Teste da razão

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Em Matemática, o teste da razão ou critério d'Alembert é um teste para saber a convergência ou não de uma série.

Seja \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} uma série de termos positivos.

Fazendo-se \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L

Se

  •  L<1 \!, a série é absolutamente convergente (portanto converge);
  •  L>1 \! ou  L = \infty\! ou \! L = 1^+ \!, a série é divergente;
  •  L=1^- \!, o teste é inconclusivo.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja: a_n=\frac{n+1}{n!}

Clasificar \sum_{n=1}^{\infty}a_n

a) a_n=\frac{n+1}{n!} > 0

b) \frac{n+1}{n!} tende para zero quando n tende para infinito, pois n! cresce muito mais rapidamente que n.

c) Aplicando o critério D'Alembert:

L=\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}} = \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)}{(n+1)^2}= =\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)+1}{(n+1)^2}

= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right)=0

e como L<1, a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge.