Número hiper-real

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Conjuntos de números

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots

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Números hiper-reais
Números hipercomplexos

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Quaterniões hiperbólicos
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Os números hiper-reais.

O conjunto dos números hiper-reais é uma maneira de tratar quantidades infinitas e infinitesimais. Os hiper-reais, ou reais não padronizados, *R, são uma extensão dos números reais R que contém números maiores do que qualquer coisa na forma

1 + 1 + \cdots + 1. \,

Esse número é infinito, e seu inverso é infinitesimal. O termo "hiper-real" foi introduzido por Edwin Hewitt em 1948.[1]

Abordagem intuitiva[editar | editar código-fonte]

Os números hiper-reais foram introduzidos para dar rigor matemático a uma abordagem intuitiva do cálculo infinitesimal.[carece de fontes?]

Pelo cálculo infinitesimal, a velocidade de uma partícula movendo-se de acordo com uma equação da forma, por exemplo, y = t^2\, pode ser calculada através da razão \Delta y / \Delta t\, para um valor de \Delta t\, que seja muito pequeno, porém zero. O resultado desta conta é v = \frac { \Delta y } {\Delta t} = 2 t_0 + \Delta t\,, que difere do resultado esperado 2 t_0\, pela quantidade pequena, porém não nula, \Delta t\,. Se esta quantidade for desprezada, chega-se ao resultado desejado.[2]

O problema com este raciocínio é que não é claro o que pode ser desprezado. Então, introduze-se um novo tipo de número, chamado de infinitesimal, \epsilon\, que satisfaz -a < \epsilon < a\, para todo número real a > 0. O único número real que é infinitesimal é o zero,[Nota 1] O sistema de números que inclui os números reais e os infinitesimais é chamado de conjunto dos números hiper-reais.[3]

Dois números reais a e b estão infinitamente próximos quando sua diferença a - b for um infinitesimal. Se \epsilon > 0\, for um número infinitesimal, então seu inverso 1 / \epsilon\, é um número infinito positivo, e - 1 / \epsilon\, infinito negativo. Os números hiper-reais que não são infinitos são chamados de números finitos.[3] Os números hiper-reais podem ser manipulados algebricamente da mesma forma que os números reais.[4]

A definição da derivada [Nota 2] pode então ser dada como sendo o número real que está infitamente próximo de \frac { \Delta y } {\Delta x}\,[4]

Por exemplo, para y = x^2\,, o resultado é 2 x_0 + \Delta x\,, e, como \Delta x\, é um infinitesimal, o (único) número real que está infinitamente próximo de 2 x_0 + \Delta x\, é 2 x_0\,[4]

Princípio da transferência[editar | editar código-fonte]

Os números hiper-reais satisfazem o princípio da transferência, uma versão rigorosa da Lei da Continuidade heurística de Leibniz. O princípio da transferência afirma que as verdadeiras declarações de primeira ordem sobre R também são válidas no *R. Por exemplo, a lei comutativa da adição, x + y = y + x, vale do mesmo modo para os hiper-reais e para os reais; desde que R seja um campo real fechado, então é *R. Desde que \sin{\pi n}=0 para todos os inteiros n, há também um \sin{\pi H}=0 para todos hiper-inteiros H. O princípio da transferência para ultrapotências é uma consequência do Teorema de Łoś' de 1955.

Preocupações sobre a Correção de argumentos envolvendo números infinitesimais remonta a antiga matemática Grega, com Archimedes trocando essas provas com as que usavam outras técnicas como o método da exaustão.[5] Nos anos de 1960, Abraham Robinson provou que hiper-reais eram logicamente consistentes se e somente se os reais fossem. Isso amenizou o medo de que qualquer prova envolvendo infinitesimais pudesse ser defeituosa, fornecendo que elas eram manipuladas de acordo com as regras de lógica as quais Robinson delineou.

A aplicação dos números hiper-reais e, em particular, o princípio da transferência para problemas de análises matemáticas são chamados de análises não padronizadas. Uma aplicação imediata é a definição dos conceitos básicos de análises como derivação e integração de forma direta, sem passar por complicações lógicas de múltiplos quantificadores. Portanto, a derivada def(x) se torna f'(x) = {\rm st}\left( \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \right) para um infinitesimal \Delta x, onde st(·) denota um função padrão, que associa a todo hiper-real finito um único real infinitamente perto dele. Similarmente, a integral é definida como parte padrão da soma infinita adequada.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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Notas e referências

Notas

  1. Alguns autores requerem de um infinitesimal que seja não-nulo, ou que seja positivo.
  2. O texto de Keisler, que usa uma abordagem geométrica, fala da inclinação da curva

Referências

  1. Hewitt (1948), p. 74, como reportado em Keisler (1994)
  2. H. Jerome Keisler, Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin, Real and Hyperreal Numbers, Chapter 1, 1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line p.23 [pdf]
  3. a b H. Jerome Keisler, Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin, Real and Hyperreal Numbers, Chapter 1, 1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line p.24
  4. a b c H. Jerome Keisler, Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin, Real and Hyperreal Numbers, Chapter 1, 1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line p.25
  5. Ball, p. 31

Leitura detalhada[editar | editar código-fonte]

  • Ball, W.W. Rouse (1960), A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed.), New York: Dover Publications, pp. 50–62, ISBN 0-486-20630-0 
  • Hatcher, William S. (1982) "Calculus is Algebra", American Mathematical Monthly 89: 362–370.
  • Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
  • Jerison, Meyer; Gillman, Leonard (1976), Rings of continuous functions, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90198-5 
  • Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
  • Kleinberg, Eugene M.; Henle, James M. (2003), Infinitesimal Calculus, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-42886-4 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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