Domínio fatorial

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Em teoria dos anéis, um domínio de integridade D é de fatoração única (de onde é chamado de DFU, significando domínio de fatoração única) ou fatorial se:

  1. \forall a \in D, se a \notin D^* (onde D^* é o conjunto das unidades de D) e a\not=0 temos que  \exist c_i \in D irredutíveis \forall i \in I_n tal que a=\prod_{i=1}^{n}c_i.
  2. Seja a=\prod_{i=1}^{n}c_i e a=\prod_{j=1}^{m}d_j com c_i, d_j irredutíveis \forall i \in I_n e\forall j \in I_m \Rightarrow m = n e \exist \sigma:I_n\rightarrow I_n bijeção, tal que c_i é associado a d_{\sigma(i)}.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O anel dos números inteiros é um domínio fatorial. Usando o teorema fundamental da aritmética e sabendo que as unidades dos inteiros são 1 e -1 e que \forall a \in \mathbb{Z} a é associado a -a temos:
  1. \forall a \in \mathbb{Z}, se a \notin \{-1,1\} e a\not=0 temos que  \exist c_i \in D irredutíveis \forall i \in I_n tal que a=\prod_{i=1}^{n}c_i.
  2. Seja a=\prod_{i=1}^{n}c_i e a=\prod_{j=1}^{m}d_j com c_i, d_j irredutíveis \forall i \in I_n e\forall j \in I_m \Rightarrow m = n e \exist \sigma:I_n\rightarrow I_n bijeção, tal que c_i é associado a d_{\sigma(i)} (isto é, como c_i é primo então d_{\sigma(i)}=c_i ou d_{\sigma(i)}=-c_i).
  • Todo corpo é, trivialmente, um domínio fatorial. Este exemplo não parece muito interessante, mas ganha importância como caso particular do próximo exemplo
  • Se D é um domínio fatorial, então o anel de polinômios com coeficientes em D, D[x], também é um domínio fatorial

Unidades e D*[editar | editar código-fonte]

Seja D um anel comutativo, u\in D é unidade, então \exist u^{-1}\in D tal que uu^{-1}=1. O elemento u^{-1} é chamado de elemento inverso de u.

D^*\subset D é o conjunto de todas as unidades de D. Logo u\in D é unidade, então u\in D^*.

  • Seja 1\in D a identidade. Como 1*1=1, então 1 é unidade, e é seu próprio elemento inverso.
  • Seja D = K um corpo. \forall a \in K, a é unidade. Logo K=K^*.
  • Seja D = \mathbb{Z}.
  1. 1, -1 são unidades.
  2. Como |a||b|=|ab| e \forall x\in \mathbb{Z}, |x|\ge 1. Então\forall x\in \mathbb{Z} tal que |x|\ge 2, x não é unidade.
  3. \mathbb{Z}^*=\{-1,1\}.

Divisão para anéis e elementos associados[editar | editar código-fonte]

Sejam D um anel comutativo e a,b\in D, a|b (i. é a divide b) se \exist q \in D, tal que b=qa. E ainda, a,b\in D são associados se a|b e b|a.

  1. Seja a,b\in D associados. a|b\ e\ b|a\Rightarrow \exist u,u^{-1} \in D tal que b=au e a=bu^{-1}. Logo a=0 \Leftrightarrow b=0.Faça a \not= 0. Então a=auu^{-1}\Rightarrow a*(uu^{-1} - 1) = 0\Rightarrow uu^{-1} - 1 = 0\Rightarrow uu^{-1} = 1. Logo u é unidade. Assim \exist u\in D unidade tal que b=au.
  2. Seja a,b\in D tal que \exist u\in D unidade com b=au. Logo a|b. Ainda mais, u é unidade, logo \exist u^{-1}\in D tal que u*u^{-1}=1.Assim b=au\Rightarrow bu^{-1}=auu^{-1}\Rightarrow bu^{-1}=a. E por fim b|a. Logo a|b e b|a, logo a,b são associados.
  3. Portanto em um domínio, a,b\in D são associados se e somente se \exist u\in D unidade tal que b=au.
  • Em um corpo K, \forall x,y \in K, x e y são associados.
  • Nos inteiros \forall n \in \mathbb{Z}, -n é seu associado.

Elementos Irredutíveis[editar | editar código-fonte]

Seja A um anel comutativo. Um elemento c \in A é irredutivel se c \ne 0, se c \not\in A^* e se c = ab com a,b \in A então a ou b é unidade.

Uma definição semelhante a de elemento irredutível é a de elemento primo ja que p \in A é primo se p \ne 0, p \not\in A^* e se p|ab com a,b \in A então p|a ou p|b.

  • Seja A um domínio e p \in A primo. Seja p = ab\Rightarrow p|ab\Rightarrow p|a\ ou\ p|b. Sem perda de generalidade, seja p|a\Rightarrow \exist q \in A tal que a = pq\Rightarrow a=abq. Como a\not=0, então b é unidade. Logo p é irredutivel.
  • Seja \mathbb{Z}[i\sqrt{5}]=\{a+ib\sqrt{5}|a,b\in \mathbb{Z}\}. \mathbb{Z}[i\sqrt{5}] é um domínio, 2,3 \in \mathbb{Z}[i\sqrt{5}] são irredutíveis, mas não são primos já que 2*3 = 6 = (1 + i\sqrt{5})(1 - i\sqrt{5}).

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1988. 213 páginas (Projeto Euclides)
  • Richard A. Dean. Elementos de Álgebra Abstrata; tradução de Carlos Alberto A. de Carvalho. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1974. 332 páginas. (com texto, problemas e exercícios)

Ligações externas[editar | editar código-fonte]