Elemento irredutível

Seja $A$ um anel comutativo. Um elemento $x \in A$ é irredutivel se $x \ne 0$, se $x \not\in A^*$ ($A^*$ é o conjunto das unidades de $A$) e se $x = ab$ com $a,b \in A$ então $a \in A^*$ ou $b \in A^*$ (isto é, a ou b é unidade de $A$).

Exemplo

• Todo número primo no conjunto dos números inteiros é irredutível;
• Os polinômios irredutíveis.
• No anel dos inteiros quadráticos $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$, o número 3 é irredutível, mas não é primo desde que 9 pode ser escrito como $\left(2 + \sqrt{-5}\right)\left(2 - \sqrt{-5}\right)$ ou como $3\cdot 3$.