Função homogênea

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Uma função homogénea não é necessariamente contínua, como mostrado por este exemplo. Esta função f é definida por:
f(x,y)=x se xy>0 ou
f(x,y)=0 se xy \leq 0.
Esta função é homogénea de grau 1, i.e. f(\alpha x, \alpha y)= \alpha f(x,y) para quaisquer números reais \alpha,x,y. É descontínua em y=0.

Uma função f(x) diz-se homogênea (português brasileiro) ou homogénea (português europeu) de grau k se:

f \left ( t \mathbf{x} \right ) = t^{k} f\left ( \mathbf{x} \right ) [1]

Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original.

O conceito de função homogênea é essencial no tratamento da Análise Dimensional. Além disso, é fundamental em física. De acordo com o teorema da homogeneidade, também conhecido como teorema de Vaschy-Buckingam, em toda a expressão, equação ou fórmula física, as dimensões de todos os seus termos devem ser idênticas (equação homogênea).[2]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • f \left( x,y \right )=x^2+y^2 é uma função homogênea de grau 2, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:
f \left ( tx,ty \right )=(tx)^2+(ty)^2=t^2x^2+t^2y^2=t^2(x^2+y^2)=t^2f \left( x,y \right )
  • f \left( x,y \right )= \frac{x^2}{y^2} é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:
f \left ( tx,ty \right )= \frac{(tx)^2}{(ty)^2} = \frac{t^2x^2}{t^2y^2}= t^0 \times \frac{x^2}{y^2} =t^0f \left( x,y \right )=f \left( x,y \right )

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Uma função homogênea algébrica u de duas variáveis (x,y) pode ser escrita como u = x^k \phi(\frac{y} {x})\, [3]

Analogamente, para uma função de várias variáveis (x, y, z, ...) pode-se mostrar que u = x^k \phi(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}, \ldots)\, [3]

Derivadas de funções homogêneas[editar | editar código-fonte]

Se f \left ( x_1, x_2, ..., x_n \right ) é homogênea de grau  ''h'', então, para qualquer n, a função de derivada parcial \frac{\partial f \left ( x_1, x_2, ..., x_n \right )}{\partial x_n} é homogênea de grau (h-1) [4] [Nota 1]

Identidade de Euler[editar | editar código-fonte]

A identidade de Euler aplicada às funções homogéneas dita o seguinte.

Seja f(x_1, x_2, x_3,...,x_n) uma função homogénea de grau n, então verifica-se a seguinte igualdade:

x_1 {\partial f\over\partial x_1}+x_2 {\partial f\over\partial x_2}+x_3 {\partial f\over\partial x_3}+...+x_n {\partial f\over\partial x_n}=n.f

Exemplo[editar | editar código-fonte]

f(x,y)=x^2+y^2 é homogénea de grau n=2. Então

x {\partial f\over\partial x}+y {\partial f\over\partial y}=x(2x)+y(2y)=2(x^2+y^2)=2.f(x,y)

Notas e referências

Notas

  1. Note que a função constante, f(x) = c, é homogênea em grau zero, e a função nula, f(x) = 0, é homogênea em qualquer grau

Referências

  1. INTRILIGATOR, Michael D. mathematical optimization and economic theory. Prentice Hall, 1971. Página 467.
  2. LOPES, Hélio Bernardo. A importância da noção de função homogênea. Disponível em: <http://www.ensino.eu/em-artigo19.pdf>. Acesso em: 29 de março de 2011
  3. a b Thomas Jephson, The fluxional calculus: An elementary treatise (1830), Chapter IV. Fluxional Equations of two Variables of the first order and degree, p.109 [google books]
  4. MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995, página 928.