Função homogênea

Em matemática, uma função f(x) é homogênea de grau h se:

$f \left ( t x \right ) = t^{\color{red}h} f\left ( x \right )$

Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original.

O conceito de função homogênea é essencial no tratamento da Análise Dimensional. Além disso, é fundamental em física: de acordo com o teorema da homogeneidade, também conhecido como teorema de Vashy-Buckingam, em toda a expressão, equação ou fórmula física, as dimensões de todos os seus termos devem ser idênticas (equação homogênea).

Exemplos

• $f \left( x,y \right )=x^2+y^2$ é uma função homogênea de grau 2, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:

$f \left ( tx,ty \right )=(tx)^2+(ty)^2=t^2x^2+t^2y^2=t^2(x^2+y^2)=t^2f \left( x,y \right )$

Ou seja, g é uma combinação linear da função inicial f.

• $f \left( x,y \right )= \frac{x^2}{y^2}$ é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:

$f \left ( tx,ty \right )= \frac{(tx)^2}{(ty)^2}$ $= \frac{t^2x^2}{t^2y^2}= t^0 \times \frac{x^2}{y^2} =t^0f \left( x,y \right )=f \left( x,y \right )$

Homogeneidade em monômios

Em monômios, o grau de homogeneidade é deduzido diretamente. Isso é bastante útil para descobrir o grau de polinômio.

Seja a equação genérica de um monômio:

$P \left ( x \right )=ax^n$

Se a for diferente de 0, esta equação terá grau n. Isso porque se multiplicarmos a variável x por uma constante t, , obteremos um novo monômio (que chamaremos de g):

$P \left ( tx \right )=a(tx)^n= at^nx^n= t^n ax^n = t^n P \left ( x \right )$

Derivadas de funções homogêneas

Se $f \left ( x_1, x_2, ..., x_n \right )$ é homogênea de grau $''h''$, então, para qualquer n, a função de derivada parcial $\frac{\partial f \left ( x_1, x_2, ..., x_n \right )}{\partial x_n}$ é homogênea de grau (h-1)