Polinómio de Newton

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Em análise numérica, polinômio (português brasileiro) ou polinómio (português europeu) de Newton (nomeado em referência a Isaac Newton) é um polinômio interpolador para um dado conjunto de pontos. Os coeficientes do polinômio são calculados através de diferenças divididas.[1] [2]

Dado um conjunto de k + 1 pontos:

(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)

com todos x_j distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Newton é dado por:


p(x) = y_0 + \sum_{i=1}^n \left( \triangle^i y_0 \prod_{j=0}^{i-1} (x-x_j) \right)

Onde

\triangle^i y_0 := diferença dividida de i-ésima ordem, do ponto 0.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

O polinômio p_2(x), que interpola f(x) nos pontos dados[2]

x_0 = -1 ~\, f(x_0)= 4
x_1 =  0 ~\, f(x_1)= 1
x_2 =  2 ~\, f(x_2)= -1
Na forma de Newton[3]
\begin{array}{c||ccc} 
 x & -1 & 0 & 2 \\
\hline
 f(x)  & 4 & 1 & -1 \\
\end{array} (Operador diferenças divididas )

p_2 (x) = f(x_0) + (x - x_0) f[x_0 , x_1] + (x - x_0) (x - x_1) f[x_0, x_1, x_2]
 \begin{array}{c||ccc} 
 x &  \mbox{Ordem 0} & \mbox{Ordem 1} & \mbox{Ordem 2} \\
 \hline
 -1 & 4  &    &   \\
    &    & -3 &   \\
  0 & 1  &    & \frac{2}{3} \\
    &    & -1 &   \\
  2 & -1 &    &   \\
\end{array}

p_2 (x) = 4 + (x - (-1) ) ( \frac{(1 - 4)}{(0 - (-1))} ) + (x - (-1) ) (x - 0)
( \frac{ \frac{((-1) - 1)}{(2 - 0)} - \frac{(1 - 4)}{(0 - (-1))} }{ 2 - (-1)} )

p_2 (x) = 4 + (x + 1)  (-3) + (x + 1) (x - 0) ( \frac{2}{3} )


Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  • Amy Hui-Lin Chiu, Quartic Newton's method and matings of polynomials Thesis (Ph. D.)--Boston University, 1997. OCLC 37597068 (em inglês)
  • Wilhelm Huisinga, Faber and Newton polynomial integrators for open system density matrix propagation , Berlin : ZIB, 1998. OCLC 76017284 (em inglês)
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