Polinômios de Laguerre

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Os polinômios de Laguerre são uma família de polinômios ortogonais em homenagem a Edmond Laguerre, e aparecem na análise de soluções para a equação diferencial

 x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,

Desenvolvendo y em série de potências, obtemos uma relação de recorrência entre coeficientes consecutivos,

 a_{k+1} = \frac{k-n}{(k+1)^2}a_k,\ \ k=0,1,2,...; \ \ \ y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k\,

Pode-se ver que quando n é natural o coeficiente da potência de grau maior e diferente de n se anula. Ou seja, uma solução linearmente independente é um polinômio de grau n (polinômio de Laguerre de ordem n, denotados por Ln(x)). Para encontrar a segunda solução linearmente, deve-se estudar as soluções da equação mais geral, que é y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um polinômio de Laguerre de ordem n é definido por

 L_n(x) = (1/(n!))e^x \frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})

Que, após o desenvolvimento, assume a forma:

 L_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^n {n \choose k} \frac{n!}{k!} x^k = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!n!}{(n-k)!k!k!} x^k

Eis alguns desses polinômios:

n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 (1/2)(x^2-4x+2) \,
3 (1/6)(-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 (1/24)(x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 (1/120)(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 (1/720)(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,

Os polinômios de Laguerre também podem ser definidos através da integral

L_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}} \; dt

Onde a integração é feita no sentido anti-horário sobre qualquer caminho fechado em torno da origem do plano complexo contido no disco | t | < 1.

Função geradora[editar | editar código-fonte]

A função geradora dos polinômios de Laguerre é dada por:

\psi(x,t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{L_n(x)}{n!} t^n = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n 
\frac{(-1)^k}{k!} {n \choose k} x^k t^n \ \ \ |t| < 1

Trocando-se a ordem dos somatórios, fazendo a mudança m = n - k e reordenando os termos, temos que:

 \psi(x,t) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} x^k t^k \sum_{m=0}^\infty {m+k \choose k} t^m

Sabendo-se que \ \scriptstyle \sum_{m=0}^\infty {m+k \choose k} t^m = \left ( \frac{1}{1-t} \right )^{k+1} \ \ \forall \ |t|<1 e rearrumando os termos, temos a forma:

 \psi(x,t) = \frac{1}{1-t} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left ( \frac{-xt}{1-t} \right )^k = \frac{1}{1-t} \exp{\left ( \frac{-xt}{1-t} \right ) }

Relações de recorrência[editar | editar código-fonte]

A partir da função geradora, desprezando-se a potência e derivando em relação a t, pode-se chegar a uma relação de recorrência da seguinte forma:

 L_{n+1}(x) = (2n+1-x)L_n(x) - n^2L_{n-1}(x)\,

Conhecidos os dois primeiros polinômios (ver tabela), pode-se usar esta fórmula para a obtenção do polinômio de grau n.

Ortogonalidade[editar | editar código-fonte]

Os polinômios de Laguerre são ortogonais mediante o produto escalar:

 \left \langle L_n | L_m \right \rangle = \int_0^\infty L_n(x) L_m(x) e^{-x} dx = (n!)^2\delta_{nm}

No entanto, podemos definir as funções:

 \varphi_n(x) = \frac{1}{n!} L_n(x) e^{-x/2}

Que são claramente ortonormais em relação ao produto escalar ordinário:

 \left \langle \varphi_n | \varphi_m \right \rangle = \int_0^\infty \varphi_n(x) \varphi_m(x) dx = \delta_{nm}

Ignorando da definição os polinômios de Laguerre e substituindo na equação da Laguerre, obtemos a equação diferencial cujas soluções são as funções acima:

 x\varphi_n''(x) + \varphi_n'(x) + \left ( n + \frac{1}{2} - \frac{x}{2} \right ) \varphi_n(x) = 0

Polinômios associados de Laguerre[editar | editar código-fonte]

Também chamados de polinômios de Laguerre generalizados, os polinômios associados são os que satisfazem a seguinte equação diferencial:

 xy''(x) + (m+1-x)y'(x) + (n-m)y(x) = 0\,

Definição[editar | editar código-fonte]

São definidos a partir das derivadas dos polinômios de Laguerre:

 L_n^m(x) = \frac{1}{n!} \frac{d^m}{dx^m} L_n(x) = \frac{1}{n!} \frac{d^m}{dx^m} \left ( e^x \frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x}) \right ) \ \ \ m \leq n

Embora seja vantajosa a seguinte definição:

 L_n^m(x) = e^x \frac{x^{-m}}{n!} \frac{d^n}{dx^n} (e^{-x}x^{n+m})

Pode-se ver que, para m > n o polinômio associado correspondente é nulo. Também é óbvio que \scriptstyle L_n^0(x) = L_n(x).

Derivando-se a partir da definição, obtém-se:

 L_n^m(x) = \sum_{k=0}^{n-m} (-1)^k {n \choose k+m} \frac{1}{k!} x^k = \sum_{k=0}^{n-m} (-1)^k \frac{n!}{(n-m-k)!(k+m)!k!} x^k

Função geradora e relações de recorrência[editar | editar código-fonte]

A função geradora é dada por:

 \psi_m(x,t) = (1-t)^{m+1} \sum_{n=m}^\infty L_n^m(x)t^n = \frac{1}{(1-t)^{m+1}} \exp{\left ( \frac{-xt}{1-t} \right )} \ \ \ |t| < 1

De onde se deduz as relações de recorrência. Algumas delas são:

 L_n^m(x) = L_n^{m+1}(x) - L_{n-1}^{m+1}(x)
 \frac{d}{dx} L_n^m(x) = -L_{n-1}^{m+1}(x)
 nL_n^m(x) = (n+m)L_{n-1}^m(x) - xL_{n-1}^{m+1}(x)
 (n+1)L_{n+1}^m(x) = (2n+m+1-x)L_n^m(x) - (n+m)L_{n-1}^m(x)
 x \frac{d}{dx} L_n^m(x) = n L_n^m(x) - (n+m) L_{n-1}^m(x)

Ortogonalidade[editar | editar código-fonte]

Os polinômios asociados de Laguerre são ortogonais em relação à função peso \scriptstyle x^{m}e^{-x} . O seguinte se aplica:

 \left \langle L_n^m | L_{n'}^{m} \right \rangle = \int_0^\infty e^{-x} x^{m} L_n^m(x) L_{n'}^{m}(x) dx = \frac{\Gamma(n+m+1)}{n!} \delta_{nn'}

Outra relação importante é a seguinte:

 \left \langle L_n^m | L_{n'}^{m} \right \rangle = \int_0^\infty e^{-x} x^{m+1} L_n^m(x) L_{n'}^{m}(x) dx = \frac{\Gamma(n+m+1)}{n!}(2n+m+1) \delta_{nn'}

Onde  \scriptstyle \Gamma(k) é a função Gama.

Tal como os polinômios Laguerre, as seguintes funções são ortonormais em relação à função peso 1:

 \varphi_{nm}(x) = \sqrt{ \frac{n!}{\Gamma(n+m+1)} } e^{-x/2} x^{m/2} L_n^m(x)

São importantes na mecânica quântica outras funções que são ortonormais em relação à função peso \scriptstyle x^2 (devido à forma que toma a integral de volume em coordenadas esféricas) que tem como solução a parte radial da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. Essas funções são:

 R_{nl}(\rho) = N e^{-\rho/2} \rho^l L_{n+l}^{2l+1}(\rho)

Em geral, as funções da forma:

 \varphi_{n m \nu}(x) = e^{-x/2} x^\nu L_n^m(x)

São ortogonais em relação à função  \scriptstyle x^{m-2\nu} e são soluções da equação:

x \varphi_{n m \nu}''(x) + (m + 1 - 2\nu) \varphi_{n m \nu}'(x)+ \left [ n + \frac{m+1}{2} - \frac{x}{4} + \frac{\nu(\nu-m)}{x} \right ] \varphi_{n m \nu} = 0

Relação com os polinômios de Hermite[editar | editar código-fonte]

Os polinômios de Laguerre estão relacionados com os polinômios de Hermite através de:

 L_n^{-1/2}(x) = \frac{(-1)^n}{2^{2n}n!} H_{2n}(\sqrt{x})
 L_n^{1/2}(x) = \frac{(-1)^n}{2^{2n+1}n!} \frac{H_{2n+1}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referência[editar | editar código-fonte]

Apuntes sobre polinomios de Laguerre de la Universidad de Chile