Função linear

Uma função linear

Função linear é a função matemática que possui as seguintes duas propriedades:

• Aditividade:

$f(x+x') = f(x) + f(x')$;

• Homogeneidade:

$f(ax) = a f(x)$.

em suma: =$f(ax+bx') = a*f(x)+b*f(x')$

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta com ordenada na origem, isto é, em que b=0.

Definição

Chama-se função linear à função definida por: (Y=ax+b a<>0; b=0) onde A e B são números reais quaisquer, com a devida restrição em B, isto é, tem que ser igual a zero.

• y é a variável dependente e x a variável independente;
• A é o coeficiente angular
• B é o coeficiente linear, é o valor numérico da ordenada cortada pela recta. Quando b<>0 a função é chamada de afim.

Nota: (1) <> significa diferente! (2) Geralmente os Economistas chamam a qualquer recta da forma y=mx+b uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, diz que uma função é linear se e só se <=> a ordenada na origem for zero. Quando b é diferente de zero, passa-se a chamar função afim.

Ver artigo principal: Aplicação linear

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.

Sejam $(V, F, \oplus_V, \otimes_V, +, \times) \mbox{ e } (W, F, \oplus_W, \otimes_W, +, \times)\,$ espaços vetoriais. Uma função $f: V \rightarrow W\,$ é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:

• $\forall x, y \in V \ (f(x \oplus_V y) = f(x) \oplus_W f(y))\,$

• $\forall a \in F \ \forall v \in V \ (f(a \otimes_V v) = a \otimes_W f(v))\,$

Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:

• $\forall x, y \in V \ (f(x + y) = f(x) + f(y))\,$

• $\forall a \in F \ \forall v \in V \ (f(a \ v) = a \ f(v))\,$

Ver também

• função afim.